1060440359

5.3.1. Metoda różniczki zupełnej

Niech szukana wielkość Z jest funkcją tylko jednej zmiennej Z = f(x). Niech ±Ax oznacza średni błąd bezwzględny wielkości mierzonej, który jest dostatecznie mały. Błąd szukanej wielkości Z jest równy ±AZ, przy czym:

Z = Zo ± AZ = fityo ± Ax)    (5.3.2)

gdzie x₀ jest rzeczywistą wartością wielkości mierzonej x, natomiast Z₀ - rzeczywistą wartością wielkości szukanej Z.

Rozwijając prawą stronę wyrażenia (5.3.2) w szereg Taylora wokół punktu o współrzędnych równych wartościom oczekiwanym zmiennej i pomijając człony zawierające wyższe niż pierwsze potęgi Ax, otrzymuje się:

z₀±az»f(x₀)±^^f--Ł>Ai

dx

(5.3.3)

Z₀ = f(xo)

prowadzi do

_±az-±^1m

dx

(5.3.4)

|AZ| = |f' (x₀ )| -1 Ax|

(5.3.5)

Błąd bezwzględny szukanej wielkości Z równa się więc bezwzględnemu błędow i w ielkości mierzonej, pomnożonemu przez pochodną funkcji Z, obliczoną dla rzeczywistej wartości argumentu x₀. Błąd względny, równy stosunkowi AZ/Z₀, obliczany jest z wyrażenia:

kf(*„)|	1 ^ 1
1 dx \	k*0)|

(5.3.6)

Bardziej ogólny i częściej spotykany w praktyce jest przypadek, gdy szukana wielkość Z jest funkcją n zmiennych niezależnych, mierzonych bezpośrednio:

Z = f(x,,x₂,...,x_n)

(5.3.7)

W takim przypadku konieczna jest znajomość błędów' bezwzględnych Ax dla każdej mierzonej wielkości x. Postępując analogicznie jak dla przypadku funkcji jednej zmiennej, stosując rozwinięcie w szereg Taylora, otrzymuje się następujące wyrażenie na maksymalny błąd bezwzględny pomiaru wykonywanego pośrednio:

AZ - ±[j^-AxJ + ..
Lh 1	\dxn \	1 / 1

(5.3.8)

gdzie Ax jest błędem bezwzględnym zmiennej x

16