0394

395

§ 2. Funkcje uwikłane

§ 2. Funkcje uwikłane

205. Pojęcie funkcji uwikłanej jednej zmiennej. Załóżmy, że wartości dwóch zmiennych x i y związane są ze sobą równaniem, które wtedy, gdy wszystkie wyrazy przeniesione są na lewą stronę, ma postać

(1)    F(x,y) = 0.

Tutaj F(x, y) jest funkcją dwóch zmiennych określoną w pewnym obszarze. Jeżeli dla każdej wartości x z pewnego przedziału istnieje jedna lub kilka wartości y, które razem z x spełniają równanie (1), to określona jest tym samym funkcja y=f(x) jednoznaczna lub wieloznaczna, dla której równość

(2)    F(x,/(x))=0

jest już tożsamością względem x. Weźmy na przykład równanie

(la)

określa ono oczywiście y jako dwuznaczną funkcję zmiennej x w przedziale <—a, a>, mianowicie

y=±-V^Tx^T.

a

Jeżeli zamiast y podstawimy w równaniu (la) tę funkcję, to otrzymamy tożsamość.

W tym przykładzie udało się w sposób bardzo prosty wyrazić analitycznie y przez x i to nawet za pomocą funkcji elementarnych. Taka sytuacja zdarza się rzadko. Np. równanie

y—x — esiny = 0    (0<e<l),

z którym zetknęliśmy się już przy innych oznaczeniach w ustępie 83, określa, jak wiemy, y jako jednoznaczną funkcję zmiennej x, której nie można wyrazić przez funkcje elementarne w skończonej postaci.

Funkcję y=f(x) nazywamy uwikłaną, jeżeli jest ona dana za pomocą nierozwiązanego względem y równania (1); staje się ona nieuwikłaną, gdy rozpatrywana jest bezpośrednia zależność y od x. Dla czytelnika jest jasne, że ta terminologia charakteryzuje tylko sposób przedstawienia funkcji y=f(x) i nie dotyczy jej istoty. Ściśle mówiąc, to przeciwstawienie uwikłanego i nieuwikłanego przedstawienia funkcji może być wyraźnie sformułowane tylko wtedy, gdy przez nieuwikłane przedstawienie funkcji rozumie się wzór analityczny wyrażający y przez x; jeżeli zaś jako nieuwikłane dopuszczać też określenie za pomocą dowolnej umowy [45], to określenie funkcji y zmiennej x równaniem (1) nie jest niczym gorsze od jakiegokolwiek innego.