0077

ROZDZIAŁ II

FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

§ 1. Pojęcie funkcji

43. Zmienna i obszar jej zmienności. W ustępie 22 dane już było ogólne pojęcie zmiennej. Zmienna x dana jest przez zbiór SC = {*} tych wartości, które może przyjąć (w rozważanym zagadnieniu). Zbiór SC, w którym każda wartość zmiennej występuje raz, nazywa się obszarem zmienności zmiennej x. Ogólnie, obszarem zmienności zmiennej może być dowolny zbiór liczbowy (').

Wspominaliśmy już o tym, że liczby mają interpretację geometryczną jako punkty na osi (liczbowej). Obszar SC zmienności zmienną x na tej osi ma interpretację jako pewien zbiór punktów. W związku z tym zwykle same wartości liczbowe zmiennej zwane są punktami.

Często mamy do czynienia ze zmienną n, dla której obszarem zmienności jest zbiór Jf

1 +(—!)"

wszystkich liczb naturalnych, np. zbiór wskaźników ciągu. Dla zmiennej x_n—-

n

obszarem zmienności jest zbiór złożony z ułamków postaci 1/2m (dla m=l, 2, 3, ...) z dołączeniem liczby 0; wielkość stała ma za obszar zmienności jedną liczbę.

Jednakże w analizie zwykle badamy zmienne, zmieniające się, jak mówimy, w sposób ciągły: ich prawzorem są wielkości zmienne — czas, droga przebiegana przez ruchomy punkt, itp. Obszarem zmienności podobnej zmiennej jest przedział liczbowy. Najczęściej jest to przedział skończony, ograniczony dwiema liczbami rzeczywistymi a i b (a<b), nazywanymi końcami przedziału. Same końce mogą należeć do przedziału lub nie. W zależności od tego rozważymy: przedział domknięty <a,b>: a^x^b (oba końce należą do przedziału), przedział półotwarty (a, b}: a<x^b lub b): a^x<b (tylko jeden koniec należy do przedziału), przedział otwarty (a, b): a<x<b (ani jeden koniec nie należy do przedziału).

O Zwracamy uwagę, że autor nie używa w tej książce terminu obszar w sensie topologicznym. W sensie topologicznym obszar to zbiór otwarty i spójny (por. ustęp 163). (Przyp. tłum.)