41563 PC043355

Rozdział Funkcje jednej zmiennej

Rozdział Funkcje jednej zmiennej

fjxo + hy - /(x₀) h

Funkcję f nazywamy różniczkowalną na zbiorze A wtedy i tylko wtedy gdy / jest różniczkowalna w każdym punkcie tego zbioru. O funkcji różnici. kowalnej na swojej dziedzinie mówimy po prostu, że jest różniczkowym Wyrażenie

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f. Niech D' c D będzie żbiote® tych punktów, dla których granica (3.11) istnieje. Funkcję U 3 x -> ffy nazywamy pochodną funkcji / i oznaczamy przez /'.

Przykład 331

Zbadamy różniczkowalność wybranych funkcji.

aj Wyznaczymy pochodną funkcji f(x) = jc². ,v e R. Niech Xo & R będzie dowolnym punktem. Granica (3.11) jest równa

= lim(2xo + h) = 2*o-

Z dowolności xq wynika, że funkcja / jest różniczkowalna, a jej pochodna jea równa f'(x) = 2x.

b) Funkcja /(x) = |x|. x e R nie jest różniczkowalna w punkcie 0. Istotnie, grania (3.11) ma w tym przypadku postać

Wystarczy rozważyć ciągi h„ = ± oraz = -i. W pierwszym przypadku mamy 7^ -* 1, w drugim ^ -* -1. Granica (3.12) nie istnieje.

Twierdzenie 3.24.

Jeśli funkcja / jest różniczkowalna w punkcie x_Q, to jest ciągła w tym punkcie;

Implikacja odwrotna jest fałszywa. Na przykład funkcja f(x) = [x\ jest ciąga w punkcie jc = 0. ale nie jest w nim różniczkowalna.

Twierdzenie 3.25.

Jeśli funkcje f_vg są różniczkowalne w otoczeniu punktu Jt € R, _c zaś jest pcw liczbą rzeczywistą, to funkcje cf_r f + g, f • g są różniczkowalne w x 1 JeśH g(x) * 0, to funkcja fig także jest różniczkowalna w ;t. Zachodzą w tym wzory:

(c/(jc>y = cf\_x\

(/(•*) + g(x)Y = f'(x) + g'(X),

(f(x)g(x)Y = f'(x)g(x) + f(x)g\x)_i

3.4. Rachunek róinlcikawy

W poniższej tabeli przedstawiamy wzory na pochodne wybranych funkcji.

Funkcja	Pochodna
/(*) = *"	A*)-**-"
f(x) = <?	rw=e*
f{x) = lnx	/'(x) = -.x>0 X
/(x) = sinx	A^)= COS*
f(x) = cosx	/'(x) = -sinx

Przykład 3.33.

Wyznaczymy pochodną funkcji/(x>=tgx. gdzie§ +JbrdIa*eC:

f(_xy~ /sin-rY _ (sin    cosx - sin x(cosx)' _ cos^+sin²*

\cosx)    sm²x    sin².r cos’x

Wartość pochodnej f'(xo) funkcji / w punkcie xo jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej: do wykresu / poprowadzonej w punkcie o wspót-rcędnych (xo,f(xo))- Dokładniej, styczną w punkcie (x&, /(xo)) do wykresu róż-niczkowalnej w xq funkcji / nazywamy prostą o równaniu

y = /(■*&>+ f'(xoXx - Xq),

Rys. 3.3. Styczna w punkcie (Jt^/(xo)) do wykresu funkcji /. Współczynnik kierunkowy tej stycznej jest tangensem kąta a jaki tworzy ta prosta z dodatnią półosią Ox. Prosta styczna „przybliża” wykres funkcji / w otoczeniu punktu styczności Źródło: opracowanie własne

Przykład 334.

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji /(x) = .r w punkcie o odciętej *d = -3.

Ponieważ /(-3) = 9, natomiast /'(-3) = -6, więc równanie stycznej przyjmuje postać y * 9 + (-6)(x - (-3)), czyli y = -6* + 27.

121