18075 PC043362

Rozdział 3. Funkcje jednej zmiennej]

czyli dla x jk xq mamy

f^{(x) f} iX— = f\x + 0(x - x₀)).

X -Xo

Twierdzenie Lagrange’a (twierdzenie 3.28) jest więc szczególnym przypadkiem wzoru Taylora.

Przykład 3.51.

Napiszemy wzór Maclaurina dla wybranych funkcji.

a) Rozważmy funkcję f(x) = e*. x e R. Dla każdego k € N mamy /*(*) = e : i w konsekwencji /*^ł,(0) = I. Wzór (3.19) ma więc postać

(«+!)•'

x"*

(33)1

gdzie 0 jest liczbą zależną od x, przy czym zawsze 0 e (0,1). b) Niech f(x) = sin x. x € R. Przyjmijmy // = 6. Pochodne funkcji sin x do rzędu 7 y równe;

f(x)= cos x, f"(x) = - sin x, f°\x) = -cos a:, f^A)(x) = sini, f^<S>(x)= cosa:, fⁱ⁶⁾(x) = - sin x, f°⁾(x) = -cosx.

Pochodne odpowiednich rzędów w punkcie xo = O przyjmują następujące wartokr j /'(O) = I. /"(O) = 0. /³⁾(0) = -1, f⁴\0) = 0, /⁽⁵>(0) = I, /^6,(0) = 0, czyli dla każdego a? istnieje taka liczba 0 e (0,1), iż spełniona jest równość

X³ X⁵ cos(0x) ₇ sm a: - a: - — + —    — x .

Funkcje g_t(x) = x. gi(x) = x-~ oraz gs(x) = -r- 57 - fr stanowią przybliżeń funkcji f(x) = sin a: z dokładnością do wyrazów rzędu, odpowiednio, 1, 3 oraz 5-Jakość ich łatwo ocenić na podstawie rys. 3.8: im argument x jest bliższy trartód xo = 0, tym odpowiednie przybliżenie jest lepsze.

Twierdzenie 3.38.

Jeśli funkcja / jest różniczkowalna nieskończenie wiele razy w otoczeniu U •[.

punktu xq oraz dla każdego x € U:

lim R„(x, xo) = 0,

n—*co

to dla każdego punktu x e U prawdziwa jest równość

/^(A)Cvo)

(3.21)

k\

m - w-

(332)

¹⁺*⁺4 + 4

Rys. 3.8. Kolejne przybliżenia e* oraz sin x otrzymane ze w/nru Maclaurina Źródło: opracowanie własne

Przykład 3.52.

a) Dla dowolnego x 1R zachodzi równość

C3.23)

figi

Z_i k'

Ze wzoru (3.20) wynika, że dla n ę N

R„(x, 0) =

*"+'

(n+1)!

e*\

gdzie 0„ s (0,1). Dla dowolnie ustalonego x e R jest spełniony warunek (3.21), więc równość (3.23) jest prawdziwa. Wynika z niej w szczególności, że

J.

*!

b) Podobnie jak w podpunkcie a), można wykazać, że dla dowolnego x e R są prawdziwe rozwinięcia

sin* = ^(-l)*^_l • *= 1

X²*-¹

(2k- 1)!’

cos* 1 ^(-1)* po

(2*)!'

Nie dla każdej funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowanej prawdziwy jest wzór (3.22). Przykładowo funkcja

/(-v) =

dla * > 0, dla x 10

1

135