0089

90

II. Funkcje jednej zmiennej

49. Pojęcie funkcji odwrotnej. Zanim zajmiemy się funkcjami odwrotnymi do funkcji trygonometrycznych, omówimy ogólne pojęcie funkcji odwrotnej.

Załóżmy, że funkcja y=/(x)jest dana w pewnym obszarze SC, niech ‘W będzie zbiorem tych wartości, które ta funkcja przyjmuje, gdy x przebiega obszar SC. (W naszych rozważaniach zarówno SC jak 9 będą zwykle przedziałami).

Obierzmy dowolną wartość y=y₀ z obszaru SM. Wówczas w obszarze SC musi istnieć taka wartość x = x₀, przy której nasza funkcja przyjmuje wartość y₀, czyli

/(*<>) = Jo ;

takich wartości x₀ może być wiele. Tak więc każdej wartości y z 9 przyporządkowuje się jedną lub kilka wartości x. W ten sposób określamy w obszarze ‘W jednoznaczną lub wieloznaczną funkcję x=g(y), którą nazywamy funkcją odwrotną dla funkcji y—f{x).

Rozważmy przykłady.

1)    Niech y = a^x (a> 1), gdzie x zmienia się w przedziale SC = ( — oo, +00). Wartości y przebiegają przedział ^lW=(0, +00), przy czym każdemu y z tego przedziału odpowiada, jak wiemy [20], w SC jedno określone x = log_ay. W tym przypadku funkcja odwrotna jest jednoznaczna.

2)    Natomiast dla funkcji y = x², przy x zmieniającym się w przedziale SC = (- 00, + 00),

funkcja odwrotna jest dwuwartościowa: każdej wartości y z przedziału Sk —    +00)

odpowiadają dwie wartości x=±y/y z SC. Zamiast funkcji dwuwartościowej rozważa się zwykle oddzielnie dwie funkcje jednoznaczne x= + yy i x= — sjy (gałęzie funkcji dwuwartościowej). Funkcje te można również uważać za odwrotne do funkcji y=x², zakładając jednak, że obszar zmienności zmiennej x jest ograniczony odpowiednio do przedziału <0, +00) lub przedziału ( — oo,0>.

3)    Podobnie, jeżeli weźmiemy y = cosh;c, gdzie obszarem zmienności x jest znowu przedział #" = ( — 00, +00), to rozwiązując równanie

e*+e

■=y

lub

ix

— 2ye^x +1=0

względem e^x, znajdujemy (przy 1) dwie wartości

skąd

e^x-y±'Jy²-\. x = ln (y±Vy² — !)•

Otrzymaliśmy znowu funkcję dwuwartościową, która rozpada się na dwie gałęzie jednoznaczne, odpowiadające zmianie x od 0 do +00 oraz od —00 do 0.

4) Jeżeli natomiast y=sinhx, to — dla dowolnego y— z równania

e —e

lub

2x

■2ye^x-1=0

znajdujemy tylko jedną wartość na e^x:

e^x = y + \! y² +1,