0151

152

II. Funkcje jednej zmiennej

W tym przypadku liczba <5 zależy tylko od e i jest dobrze dobrana do wszystkich x₀ równocześnie.

Jednostajna ciągłość oznacza, że we wszystkich przedziałach częściowych wystarcza ten sam rząd bliskości dwóch wartości argumentu, żeby otrzymać zadany rząd bliskości odpowiednich wartości funkcji.

Można pokazać na przykładzie, że ciągłość funkcji we wszystkich punktach przedziału nie jest warunkiem dostatecznym jednostajnej ciągłości w tym przedziale. Niech na przy

kład /(je)=sin— dla x zawartych pomiędzy 0 i 2/jt, z wyłączeniem zera. W tym przy-x    '    "

padku obszarem zmienności zmiennej x jest półotwarty przedział (0,2/rt) i w każdym jego

2    1

punkcie funkcja jest ciągła. Przyjmijmy teraz x₀=--- , x=—(gdzie n jest dowolną

(2n + l)n    mt

hczbą naturalną); wówczas

/(x)=sinn7t=0,

/(x₀) = sin(2n + l) y= ±1,

tak że

|/(x)-/(x₀)| = l,

mimo że (x—jc₀|=- ze wzrostem n może być uczynione dowolnie małe. Tutaj

¹    ' n(2n + l)n

przy e = 1 nie można znaleźć 5, które byłoby równocześnie dobre dla wszystkich punktów x:₀ z przedziału (0,2/rc), chociaż dla każdej z oddzielna wartości x₀, na mocy ciągłości funkcji, takie 5 istnieje!

Godne uwagi jest, że w przedziale domkniętym <a, b} taka sytuacja nie może się zdarzyć, jak to wynika z następującego twierdzenia pochodzącego od G. Cantora.

87. Twierdzenie Cantora. Jeżeli funkcja f (x) jest określona i ciągła w przedziale domkniętym <a, by, to jest ona również jednostajnie ciągła w tym przedziale.

Dowód poprowadzimy przez sprowadzenie do niedorzeczności. Niech dla pewnego określonego e>0 nie istnieje takie «5>0, o którym jest mowa w definicji jednostajnej ciągłości. W takim przypadku dla dowolnej liczby <5>0 istnieją w przedziale <a, by takie dwie liczby x'₀ i x', że

|x'-xó|<<5, a równocześnie \f(x')-f(x'₀)\^e.

Weźmy teraz ciąg ó_n liczb dodatnich, dążący do zera.

Na mocy tego, co powiedzieliśmy, dla każdego ó_n znajdziemy w przedziale <a, by wartości Xo° i x^(B) (grające rolę x₀ i xó) takie, że (przy n= 1,2, 3,...)

|x^(B)-x£⁾| <S„,    a równocześnie    |/(x^(B)) -/(xo°)| >e.

Na mocy lematu Bolzano-Weierstrassa [41] z ciągu ograniczonego {x^(B)} można wybrać podciąg zbieżny do pewnego punktu x₀ przedziału (a, by. Aby pominąć nieistotne trudności w oznaczeniach załóżmy, że już sam ciąg {x^(B)} jest zbieżny do x₀.