0143

144

II. Funkcje jednej zmiennej

Lemat ten wynika z twierdzenia 2° z ustępu 55, I, przy czym w danym przypadku rolę granicy A funkcji (na mocy ciągłości) odgrywa / (x₀).

Dowód II. Rozważmy wszystkie te punkty x=x przedziału <a, b}, dla których /(3ć)<0. Do nich należy na przykład punkt a i (na podstawie lematu) najbliższe mu punkty. Zbiór {x} jest ograniczony z góry liczbą b. Niech teraz c=sup {3ć}, [11]; twierdzimy, że/(c)=0.

Rzeczywiście, załóżmy, że jest przeciwnie; wówczas albo/(c)<0, albo/(c)>0. Gdyby było f(c)<0 (wówczas z góry wiadomo, że c<b, bo wiemy, że/(b) > 0), to w myśl lematu na prawo od c znalazłyby się wartości x, dla których f(x)< 0, co byłoby sprzeczne z definicją c, jako kresu górnego dla {x}. Jeśliby zaś było/(c)>0, to — znowu na podstawie lematu — mielibyśmy f(x)> 0 także i w sąsiedztwie lewostronnym, a mianowicie w pewnym dostatecznie małym przedziale (c-S, c>, a zatem w ogóle nie byłoby tam wartości x, co również jest niemożliwe, bo c z definicji jest kresem górnym dla x.

Twierdzenie jest udowodnione.

Zauważmy, że warunek ciągłości funkcji f(x) w przedziale domkniętym <a, b) jest istotny; funkcja nieciągła choćby w jednym punkcie, może przejść od wartości ujemnej do dodatniej, nie przyjmując nigdzie wartości 0. Tak jest np. z funkcją/(x) = [x] — 1, która nigdzie nie przyjmuje wartości 0, choć/(0)= — i, a f(\)=ł (skok dla x= 1).

81. Zastosowanie do rozwiązywania równań. Udowodnione twierdzenie ma zastosowanie przy rozwiązywaniu równań.

Przede wszystkim, za jego pomocą ustala się istnienie pierwiastków. Na przykład, oczywiste jest istnienie pierwiastka x=4 równania

2’=4x,

ale trudniej ustalić istnienie jeszcze jednego pierwiastka. Z tego, że funkcja /(*) = 2^x—4x dla x=0 przyjmuje wartość /(0)=1>0, a dla x=$ — wartość /(ł) = s/2—2<0, wynika natychmiast, te (na mocy ciągłości) funkcja przyjmuje wartość 0 w pewnym punkcie pomiędzy 0 i i.

Drugi przykład: rozważmy ogólne równanie algebraiczne nieparzystego stopnia (o współczynnikach rzeczywistych)

f(x) = a₀x²" ^{+ i} +fli x^z" + ...+a_2Hx + a2„-n=0.

Dla x dostatecznie dużych co do wartości bezwzględnej wartość wielomianu jest związana ze znakiem współczynnika przy najwyższej potędze, tj. przy x dodatnim ma znak współczynnika a₀, a przy x ujemnym — znak przeciwny. Ponieważ wielomian jest funkcją ciągłą, to zmienia znak i w punkcie pośrednim musi przyjąć wartość zero. Wynika stąd, że: każde równanie algebraiczne nieparzystego stopnia (o współczynnikach rzeczywistych) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Twierdzeniem Cauchy’ego można się posługiwać nie tylko dla ustalania istnienia pierwiastków, ale i dla przybliżonego ich obliczania. Wyjaśnimy to na przykładzie. Niech f(x)=x*—x — 1. Ponieważ /(1)= — 1, /(2)= 13, to wielomian ma pierwiastek pomiędzy 1 i 2. Podzielmy przedział <1, 2> na 10 równych części punktami 1,1; 1,2; 1,3; ... i zacznijmy kolejno obliczać:

/(!,!)= —0,63...;    /(1,2)=-0,12...;    /(1,3)= +0,55... ,    ...

Widzimy, że pierwiastek zawiera się pomiędzy 1,2 i 1,3. Dzieląc i ten przedział na 10 części, znajdujemy: /(1,21)=-0,06...;    /(1,22)=-0,004...;    /(1,23)=+0,58... ,    ...