0139

140

II. Funkcje jednej zmiennej

78. Wyrażenia oznaczone i nieoznaczone w postaci potęgi. Rozważymy teraz wyrażenie w postaci potęgi u", gdzie u i n są funkcjami tej samej zmiennej x, o obszarze zmienności X, mającym punkt skupienia x₀; mogą to być w szczególności dwa ciągi {«„} i Niech istnieją skończone granice

lim u —a    oraz lim v=b,

*“♦*0    X-*X0

przy czym a>0. Należy znaleźć granicę wyrażenia u".

Przedstawmy to wyrażenie w postaci

u^e—e^tt lnu.

Funkcje u i ln u mają granicę

lim v = b, limlnu=lna

x-*xo

(skorzystaliśmy tu z ciągłości funkcji logarytmicznej), a więc

lim v ln u = b ln a.

X-*X0

Stąd na podstawie ciągłości funkcji wykładniczej otrzymujemy w końcu

lim uWⁿ“=a\

Granicę wyrażenia u” można ustalić i w innych przypadkach, gdy znana jest granica c iloczynu t) ln u — skończona lub nieskończona. Przy skończonym c szukana granica równa się oczywiście e^c, przy c=—oo lub +oo granica ta wynosi odpowiednio 0 lub + oo [54, 1)].

Samo wyznaczenie granicy c=lim v ln u — tylko poprzez dane granice a i b — możliwe jest zawsze poza przypadkami, gdy iloczyn ten (przy x~*x_a) przedstawia wyrażenie nieoznaczone postaci oo 0. Łatwo stwierdzić, źe przypadki wyjątkowe odpowiadają takim parom wartości a i b:

a — 1, b= + oo, a = 0,    b=0,

a= + oo,    b = 0.

W tych przypadkach mówimy, że wyrażenie u” jest wymieniem nieoznaczonym postaci 1", 0°, oo° (*) (zależnie od przypadku). Aby znaleźć w tym przypadku granicę wyrażenia u\ nie wystarcza znajomość samych granic funkcji u i v, ale konieczna jest znajomość tychże funkcji.

O Na temat samych tych symboli można by powtórzyć uwagę z notki na str. 50.