0101

102

II. Funkcje jednej zmiennej

Jeżeli teraz oznaczymy przez x miarę lukową kąta AOB, to długość luku AB wyrazi się przez iloczyn Rx, i nierówności przyjmą postać:

i R² sin x < $R²x < %R² tg x.

skąd, po skróceniu stronami przez i-R², otrzymujemy nierówności (9).

Przy założeniu, że 0<x<ijr, podzielmy sin x przez każdy z wyrazów nierówności (9). Otrzymujemy:

smx

1 >->cosx,

x

skąd

Ale

(na mocy (9)), czyli

sinx

0<1--<1—cosx.

x

1 —cosx=2 sin²|x<2 sin^x<x

- sinx

0<1--<x,

x

skąd już wynika nierówność

sinx

--1

x

< X

która ma miejsce oczywiście również przy zmianie znaku x, czyli jest słuszna dla wszystkich x^0, jeśli tylko |x|<iit.

Otrzymana nierówność rozwiązuje zagadnienie. Rzeczywiście dla danego dowolnie e>0, za S wystarcza obrać mniejszą z liczb £ i Ąn: przy |x| <3 daje się przede wszystkim zastosować ta nierówność (bowiem <?<i7t), a na jej mocy (przy 3^s) mamy

sinx

<£.

x

Na podstawie definicji granicy funkcji [52] oznacza to, że funkcja- ma granicę 1,

x

gdy x-+0, czyli związek (8) jest usprawiedliwiony.

7a) Przejście do granicy (8) możemy na podstawie ustępu 53 rozumieć w ten sposób, że ciąg dąży do 1 przy dowolnym x*-*0.

Zastosujemy tę uwagę do znalezienia granicy ciągu

<p

cos — cos 2

2" ’

lim

n-» oo

gdzie ę jest dowolną liczbą różną od zera. Oczywiście

- V ■ V .2    9    9

sm s>=2 cos — sm —=2 cos— cos —= 2    2 2_{    2²

9    9    9.9

=2 cos — cos —5 ... cos — sin — , 2 2^ł 2 2