0121

122

II. Funkcje jednej zmiennej

Rozważając jednocześnie kilka nieskończenie dużych wielkości, jedną z nich (np. y) obieramy za podstawową, i z jej potęgami porównujemy pozostałe nieskończenie duże. Na przykład jeżeli, jak zakładaliśmy powyżej, wszystkie te wielkości są funkcjami x i dążą do +oo, gdy x->a, to jako podstawową wielkość nieskończenie dużą obiera się zazwyczaj |jc|, jeżeli a=+oo, a 1 /|jc—zz[ przy a skończonym.

III. Nieskończenie duża nazywa się wielkością rzędu k (względem podstawowej nieskończenie dużej y), jeżeli z i y^k są tego samego rzędu, tj. jeżeli iloraz zjy^k ma skończoną granicę, różną od zera.

Nie przytaczamy tu przykładów, bo łatwo je otrzymać, zastępując rozważane powyżej nieskończenie małe, odwrotnymi do nich wielkościami nieskończenie dużymi. Wspomnimy tylko o tym, że przy x~* + oo nieskończenie duża a^x (a> 1) jest wyższego rzędu, a nieskończenie duża log„ x jest niższego rzędu, niż dowolna potęga x* (z dodatnim wykładnikiem k); wynika to ze wzorów (2) z ustępu 61.

§ 4. Ciągłość (i punkty nieciągłości) funkcji

66. Określenie ciągłości funkcji w punkcie. Z pojęciem granicy funkcji jest ściśle związane drugie ważne pojęcie analizy matematycznej — pojęcie ciągłości funkcji.

Rozważmy funkcję /(x), określoną w pewnym obszarze SC = {x}, dla której x„ jest punktem skupienia; niech przy tym sam punkt x₀ należy do obszaru określoności funkcji tak, że w tym punkcie funkcja ma określoną wartość /(x₀).

Gdy ustalaliśmy definicję granicy funkcji przy dążeniu x do x₀ [52, 53]

lim/(x),

to podkreślaliśmy wiele razy, że zmienna x nie przyjmuje wartości x₀; ta wartość mogła nawet nie należeć do dziedziny funkcji, a jeśli należała, to wartość /(x₀) nie była uwzględniana w definicji granicy.

Szczególnie ważny jest jednak przypadek, gdy

(1)    lim/(x)=/(x₀).

X~*XO

Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła dla wartości x = x₀ (lub w punkcie x=x₀), jeżeli spełniony jest związek (1); jeżeli związek ten nie jest spełniony, to mówimy, że w tym argumencie (lub w tym punkcie) funkcja ma nieciągłość i¹).

W przypadku ciągłości funkcji/(x) w punkcie x₀ (i oczywiście, tylko w tym przypadku), przy obliczaniu granicy funkcji /(x), gdy x->x₀, staje się nieistotne, czy x dążąc do x₀ przyjmuje w szczególności wartość x₀, czy też nie.

0) Terminologia ta jest zgodna z intuicyjnym rozumieniem ciągłości i nieciągłości krzywej; funkcja jest ciągła, jeżeli ciągły jest jej wykres, a punkty nieciągłości funkcji odpowiadają nieciągłościom wykresu. W istocie jednak samo pojęcie ciągłości krzywej wymaga określenia, a najprostsza droga ku temu wiedzie właśnie przez ciągłość funkcji.