0123

124

II. Funkcje jednej zmiennej

W dalszym ciągu będziemy zwykle rozważali funkcje, określone w przedziale 9C\ wszystkie punkty tego przedziału są punktami skupienia tak, że dla każdego z nich można zapytać o ciągłość funkcji w tym punkcie. Dla uproszczenia sprawy umawiamy się mówić, że funkcja jest ciągła w przedziale SC, jeżeli jest ona ciągła w każdym punkcie przedziału z osobna.

67.    Działania arytmetyczne na funkcjach ciągłych. Zanim przejdziemy do przykładów funkcji ciągłych, ustalimy następującą prostą uwagę, która pozwala na stwierdzanie ciągłości obszernej klasy funkcji.

Twierdzenie. Jeżeli dwie funkcje f(x) i g(x) są określone w tym samym przedziale SC, i obie są ciągłe w punkcie x₀, to w tymże punkcie są ciągle funkcje

f(x)

f(x) ±g(x),    f(x) g (x),    —- ,

g(x)

z tym, że ostatnia przy założeniu, że g(x_o)#0.

Twierdzenie to wynika bezpośrednio z twierdzeń o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu dwóch funkcji, mających równocześnie granice [55],

Zatrzymajmy się dla przykładu nad ilorazem dwóch funkcji. Założenie o ciągłości funkcji f(x) i g(x) w punkcie x₀ jest równoważne występowaniu równości

lim/(x)=/(x₀),    lim g(x) = g(x₀).

X-*XQ    x^xo

Stąd, na podstawie twierdzenia o granicy ilorazu (ponieważ granica mianownika nie jest zerem), mamy:

.. f(x)    f(x₀)

lim---=---,

x-*x₀g(x) g(x₀)

a ta właśnie równość oznacza, że funkcja f(x)/g(x) jest ciągła w punkcie x₀.

68.    Przykłady funkcji ciągłych. 1° Wielomian i funkcja wymierna. Funkcja f(x) = x jest oczywiście ciągła w całym przedziale ( — oo, +oo): jeżeli x„->x₀, to f(x_n) = x_n-*x₀ = =f(x₀). Dokładnie tak samo dowodzimy, że jest ciągła funkcja równa tożsamościowo stałej.

Stąd na podstawie twierdzenia z poprzedniego ustępu otrzymujemy ciągłość dowolnego jednomianu

ax^m = a • x ■ x -... ■ x,

m razy

jako iloczynu funkcji ciągłych, a zatem i wielomianu

a₀x" + a₁ x"~ ’.+... +«„-! x + a„

jako sumy funkcji ciągłych. We wszystkich wspomnianych przypadkach ciągłość ma miejsce w całym przedziale (—oo, +oo).