Monotoniczność funkcji (1)

2. Monotoniczność funkcji

Funkcja /(x) określona w przedziale (a,b) jest rosnąca w przedziale (a,b), jeśli większym wartościom zmiennej niezależnej x wziętym z przedziału (a,b) odpowiadają większe wartości funkcji, czyli mówiąc dokładniej:

Funkcja /(x) jest w przedziale (a,b) rosnąca, jeśli z nierówności a<x_l < x₂ < b wynika nierówność /(x, ) < Ax₂).

Funkcja /(x) określona w przedziale (a,b) jest malejąca w przedziale (a,b) , jeśli większym wartościom zmiennej niezależnej x wziętym z przedziału (a,b) odpowiadają mniejsze wartości funkcji, czyli mówiąc dokładniej:

Funkcja /(x) jest w przedziale (a,b) malejąca, jeśli z nierówności a<x_l < x₂<b wynika nierówność /(x,) > f(x₂).

Funkcje rosnące i malejące nazywamy funkcjami monofonicznymi.

Monotoniczność funkcji różniczko walnych można badać za pomocą pochodnych.

Zakładamy, że funkcja /(x) jest różniczkowalna wewnątrz przedziału (a,b), to znaczy, że wewnątrz przedziału (a,b) istnieje pochodna f\x).

Jeżeli f\x) > 0 wewnątrz przedziału (a,b), to funkcja /(x) jest rosnąca wewnątrz przedziału (a,b).

Jeżeli f\x) < 0 wewnątrz przedziału (a,b), to funkcja /(x) jest malejąca wewnątrz przedziału (a,b).

x²

Zadanie 1. Zbadać monotoniczność funkcji y(x) =-.

Rozwiązanie. Funkcja y jest określona na całej osi liczbowej R z wyjątkiem x = 1 i jest różniczkowalna w swoim obszarze określoności. Pochodna y' jest równa

(1 — x)

-(l-x)    ,

dx    _ 2x • (1 - x) - x² • (-1) _ x(2 - x)

(l-*)²    _(1-^)²'

u-xr

każdym punkcie osi liczbowej R z wyjątkiem punktu x = 1, w którym jest równy zeru.