025 9

DEFINICJA

Niech / będzie funkcją określoną, w przedziale (aąg b). Funkcja / ma w punkcie xq granicę niewłaściwą prawostronną oc ( lim f{x) = co), jeśli dla

x—

każdego ciągu (x_n) zbieżnego do xq, gdzie x_n E (xo;b), ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do oc.

Uwaga. Analogicznie definiujemy granice:

lim f(x) = — oc,    lim f(x) = co, lim f(x) = -co

X-+Xq    X~>Xq

Będziemy stosować następujące oznaczenia:

■    lim f(x) - 0⁺ oznacza, że lim f(x) — 0 oraz f(x) > 0 w pewnym sąsiedz-

X—>.T() ’    X ->Xo

twie punktu xq.

■    lim f(x) = 0~ oznacza, że lim f(x) = 0 oraz f(x) < 0 w pewnym sąsiedz-

x—>Xo    X—>Xq '

twie punktu x₀.

TWIERDZENIE

Jeśli lim f(x) = 0⁺ oraz lim g(x) = a > 0. to lim

X—>Xq    X—>Xo    X—>Xo

Jeśli lim f(x) = 0⁺ oraz lim g(x) — a < 0, to lim

x->xo '    x—>xo    x-^Xo

Jeśli lim f(x) — 0“ oraz lim g(x) — a > 0, to lim

X—>X() '    X—>Xq ’    X—*XQ

Jeśli lim f(x) = 0^_ oraz lim g{x) = a < 0, to lim

X^Xq    X—>X₀ ‘    X-^Xq

g{x)

f(x)

/W

g(x)

/M

⁽A^x)

/(*)

—- oo.

= —oo.

= —oo.

— 'OO.

Uwaga. Analogiczne własności zachodzą dla granic jednostronnych.

Przykład 3

X _r    [śt]

a) lim —r—7 — —00 ' _aj__ł2+ x²-4

b)

lim

x—>2~

•^~⁶ [gl

x²—4

aby ustalić znak mianownika, można naszkicować wykres funkcji y = x~ — 4

00

Ćwiczenie 3

Oblicz granicę.

a)

x4~2 lim --

x—*1 l X-1

b) lim

x-4

3—x

c)

lim

x—2+

X+1

x²—4 '

270    5. Rachunek różniczkowy