65 7

Ekstrema funkcji

Definicja 1. Mówimy, że funkcja / ma w punkcie xq maksimum lokalnie, gdy istnieje otoczenie U C R punktu zo takie, że U C X oraz dla każdego :/c 6 U zachodzi /(z) ^ /(zo).

(Definicja: Otoczeniem punktu Zo o promieniu 5 nazywamy zbiór U(xq,S) = {z 6 M : |z - z₀| < 5}.)

Definicja 2. Mówimy, że funkcja / ma w punkcie z© minimum lokalne, gdy istnieje otoczenie U Cl punktu Zo takie, że U C X oraz dla każdego . c € t/ zachodzi /(z) ^ /(zo).

Definicja Mówimy, że frmkcja j ma -w punkcie Xo maksimum lokalne; tpta-ściwe, gdy istnieje otoczenie Ucl punktu zo takie, że U C X oraz dla ka żdego z e C/\{zo} zachodzi /(z) < /(z₀).

Definicja 4. Mówimy, że funkcja / ma w punkcie zo minimun lokalne tuła ściwe, gdy istnieje otoczenie U C R punktu zo takie, że U C X oraz dla każdego z € U\{zo} zachodzi /(z) > /(zo).

Definicja 5. Maksima i minima funkcji nazywamy ekstremami funkcji.

Uwaga 1. Ekstremów lokalnych nie należy utożsamiać z najmniejszą i na jwiększą wartością funkcji w rozpatrywanym zbiorze. Wartość najmniejsza i największa funkcji w zbiorze A nazywa się minimum i maksimum absolutnym ( globalnym).

m

ml

przykładem może byc funkcja / : [0,1] —> R określona wzorem /(z) = z

t x 6 [0,1], która ma najmniejszą wartość równą 0 przyjmowaną w końcu 7 .^przedziału 0 lecz funkcja ta nie ma ekstremów lokalnych.

c

U    wierdzenie 1 (warunek, konieczny istnienia, ekstremum.], (tui. Faz'mata]

Niech Id oraz f : X —» R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie zo £ IntX. Jeśli funkcja f ma w punkcie xq ekstremum lokalne, to f(xo ) = 0.

««e isłiua

k.bjj

Da.

Uwaga 2. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe. Przykładem jest funkcja nóżnicz-kowalna /(z) = z³, której pochodna zeruje się dla z = 0, a funkcja jest ściśle rosnącą w R.

A

xaL