PC043378

Definicja 1.54 II FufikęjB/ma w

punkcie x_Q.e R maksimum lokalne, jeżeli 3 V f(x)£f(x₀).

6>0 XtS)(*a)

|| Funkcja/ma w punkcie j₀e R minimum lokalne, jeżeli

i i. n«|

6X) «<&(*<))

W prakty ce częściej wykorzystujemy pojęcia minimum lokalnego wlaścń oraz maksimum lokalnego właściwego.

Definicja 1.55

a) Funkcja/ma w punkciex_Qe R maksimum lokalne właściwe, jeżeli

3 V /(jr)</(at₀) (por. ilustracja 1.27).

8>p

II Funkcja/ma w punkcie%e R minimum lokalne właściwe, jeżeli 1 3 V f(x)>f(xo) (por. ilustracja 1.28).

ilustracja 1.27. Przykład funkcji posiadającej maksimum lokalne właściwe w punkcie *₀

Ilustracja 1.28. Przykład funkcji posiadającej minimum lokalna właściwe w punkcie x„

Badanie monotoniczności oraz występowania ekstremów lokalnych (mini* mum i maksimum) można wykonać na trzy sposoby:

a)    korzystając z wykresu funkcji,

b)    korzystając z definicji,

c)    wykorzystując elementy rachunku różniczkowego (por. podrozdz. 7.3.1). Przykład 1.61

Aby wykazać, że funkcja f(x) = 2x + 1 jest ściśle rosnąca (rosnąca w swojej dziedzinie), weźmiemy dwa dowolne argumenty x_x, x₂ e R, takie, że x, < x₂-Badamy teraz znak różnic/:

f(x₂)-f(xj) = 2x2 +1 - (2c, +1) = 2X2 - 2x_x = 2(x₂-x,).

Ponieważ z założenia x₂ - x, > 0, oba czynniki otrzymanego iloczynu są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni. Stąd:

/(*2) ~/(*i) = jj| ~^xi) > 0of(x i) < f(x2),

co oznacza, że badana funkcja jest ściśle monotoniczna, bo jest rosnąca w swojej dziedzinie, czyli w zbiorze R.

Przykład 1.62

Funkcją, której nie nazwiemy monotoniczna, jest funkcja g(x) =x². Jest to jednak przykład funkcji, o której powiemy, że jest przedziałami monotoniczna. W przedziale (-co,Q) jest malejąca, a w przedziale (0,=c) jest rosnąca. Dowód pierwszego faktu przeprowadzimy, wykorzystując definicję 151. Wybieramy dowolne argumentyx_t,x_z e (-cc,Q) takie, żex, ctj. Następnie obliczamy różnicę;

g(*2)    I &2>² ~ (*i)² i(*2 -XiX*z * M*