280 (10)

11.1.1. Granica funkcji (II)

(1) Definicja >viaści>vej granicy funkcji w punkcie x_: lim/(x ) = g(«=S R ) według Heinego:

„Afjr.e D,)^_

]*!»/(■*-)=*

Jim AT, = x_Q

.A x„ * -V_D

dowolny ciąg argumentów jest zbieżny do

dąg odpowiednich wartości funkcji jest zbieżny do g

według Cauchy’ego:

A V A [o <\x - x_G| < S => l/(x) - g\< e|

ooooieo.l '    ^1    1    '    ' l

dowolne argumenty są w otoczeniu fi-owym liczby .v₀

(por. z: lim x„ = zj

wartości funkcji w tych argumentach są w otoczeniu e-owym liczby g

(por. z: Jim / ( x„ ) = g)

Uwaga: W definicji właściwej granicy jednostronnej w punkcie dochodzi koniunktywnie założenie: * > * lub odpowiednio: x < ,v₀.

(2) Definicja niewłaściwej granicy funkcji w punkcie x_Q: limf(x) = /^\oo

x — x₀    \ )

według Heinego:

⁼x»

,C%.^X-*^Xo

dowolny ciąg argumentów jest zbieżny do jr.

ciąg odpowiednich wartości funkcji jest

rozbieżny do f — \ CO

według Cauchy’ego:

A V A

M e R + S> O x e D_f c-i

>

0 < \ x - txr°J < i =*/(*)(<)

M

dowolne argumenty są w otoczeniu 5-owym liczby x₀

wartości funkcji w tych argumentach są większe (mniejsze) od dowolnej liczby dodatniej (ujemnej)

(por. z: lim x_m = x_a)

(por. z: Jim/(x.) = g)

Uwaga: W definicji niewłaściwej granicy jednostronnej w punkcie x₀ dochodzi koniunktywnie założenie: x > łub odpowiednio: x < x₀.

(3) TWierdzenie o istnieniu granicy funkcji w punkcie x_Q

Funkcja ma właściwą granicę w punkcie x_Q Jim f(x) = g

Istniejące granice jednostronne w punkcie są sobie równe: g = lim_/(x) = lim/(a:) = g

(4) Twierdzenie o jedyności granicy funkcji w punkcie: x,

tylko jedną.

czyli

lim x_m ■ -v„ dla

-v, x_a A (.V. 11 />,

Jeżeli funkcja ma w danym punkcie granicę, to

(5) Interpretacja geometryczna właściwej granicy funkcji w punkcie x_Q: lim/(x) = g; „Czerpiąc” argumenty x =£ x_Q z otoczenia 5-owego punktu x_a, czyli z przedziału:

(x_Q — 5\x₀ + 5^, mamy pewność, że wartości funkcji (w tych argumentach) „wpadną” do otoczenia e-owego liczby g, czyli do przedziału (g-e;g + e).

Uwaga: Dla granicy jednostronnej rozpatrujemy otoczenie lewostronne, czyli łub otoczenie prawostronne (x₀;x₀ + 5) punktu x_Q dla odpowiednio granicy lewo- i prawostronnej.