289 (8)

11.1. Granica i ciągłośf lunkc

11.1.2. Ciqgłoić funkcji (II)

DUsaoCci funkcji ciągłych:

^/^jciągła w/t oraz|jJ-ciągła dla g(x₀) | 0

ffl Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i monofonicznej jest ciągła i monofoniczna (tak samo). (3) Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.

|j)\\(iżnc twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych:

1,0 lokalnym zachowaniu znaku:

/-ciągła w otoczeniu U punktu x₀

‘A^xo)(<)°

(/(x10 w pewnym otoczeniu V c U)

znak funkcji w punkcie ar* jest zachowany wokół punktu X₀ II. 0 zerowaniu się funkcji ciągłej:

funkqaciągław(a;ó)i/(<z)/(ó) < 0    =»

(tzn./(a) i f(b) są przeciwnych znaków)

pea

wykres funkcji przecina oś OX

cz>

V_)

CD

aa przykład:

geometrycznie: punkty (<r;/(a)) i (fc:/(f>)) leżą po przeciwnych stronach osi OX

(«;/(«))

<*/(*))

BI.Twierdzenie Weierstrassa (o przyjmowaniu wartości najmniejszej i największej):

/(*,) = m = wartość najmniejsza w i

funkcja ciągła w (a;b)

V

*I.*J

f(x₂) = M = wartość największa w

a-,b)

a;b)

•uo

CD

-v-j

CD

1

i

u przykład:

Y

m=jĘę

m =f(b)

Ol

b X

W Własność Darboux (o przyjmowaniu wartości pośredniej): /-ciągła w(a;fc)

y₀e[nr.M) x<,elnb

JM = m = wartość najmniejsza w (a\b)    =»

V f(x₂) = M = wartość największa w (a-, b)

k*tja ciągła w(o:ft)przyjmuje wszystkie wartości pośrednie y₀ między wartością najmniejszą (rn) i największą (M)

^Przykład:    _y