Granica i ciaglosc fukcji strh 69

, Pokazać, że funkcja /:lR^ł - R,

:* + /

dla (x,y)#(0,0)

f(*.y) -

jest ciągła na !&².

47. Pokazać, że funkcja /: H² -+ IR, określona

dla (x,y) = (0,0),

xy

dla (x,y) ^ (0,0)

l 0 dla (x,y) = (0,0), jest nieciągła w punkcie (x,y) = (0,0).

/ w-

48. Pokazać, że funkcja /:&-*&, określona w następujący sposób c niewymiernych [0 dla x wymiernych, jest nieciągła w każdym punkcie x e l&.

49. Uzasadnić, fv HI ?(*) = <

e funkcja tp: R -*Dl określona wzorem

}0 dla x niewymiernych, jest ciągła tylko w punkcie x = 0.

50.    Dobrać a e l& tak, żeby funkcja

L a dla x = 0, była ciągła na !&.

51.    Niech    będzie określona następująco:

2+e* dla x < 0

dla x > 0

lim (2 + e*) dla x = 0.

Dobrać a tak, żeby ta funkcja była ciągła na §L

dla x < O

.    -5-- dla 0 x < 1

*)=■<    x²+x—2

c    dla x - I

_{d|a x>i}

była ciągła na zbiorze Ift.

53. Podać przykład funkcji /: ifl -» A nieciągłej tylko na zbio a) lim x gdzie |~^j oznacza cechę liczby

b) lim--^:

d) lim    —-

55. Obliczyć

56.    Zbadać ciągłość następujących funkcji:

a)    /(x) = Jim    , x e R.

f 1 dla x>0

b)    /(x) = sgn(sinx), xe(ft, gdzie sgnx=-< 0 dla x = 0

[-1 dla x < 0,

o/<*)-{“ ^{dla x W!}™ⁱ'^ra!'^ch

1 0 dla x niewymiernych.

57.    Niech /:IR -* Ul będzie funkcją określoną w następujący sposób: jeśli i Jest liczbą niewymierną, to /(x) = 0; jeśli x jest liczbą wymierną, x -