Granica i ciaglosc fukcji zadT 61 odpowiedzi

284

.    ^2(C°^,'^>-'⁾(^C°^łil+0 >n»»    ”**jl

Sli|d otrzymujemy, że poszukiwana granica jest równa c) przekształcając

łatwo już otrzymujemy, ż i-cosa-cos*)

d) granica nie istnieje, ponie ne,

^e» >■ 0    E)

aż granice jednostronne w punkcie h) 1.

55.    —.

Wskazówka: Pomnożyć i podzielić rozważane wyrażenie przez sin

56.    a) Wskazówka:

f 1 dla x > 0 f(x) = <    0 dla x = 0

[-1 dla x < 0,

b)    ciągła wszędzie poza punktami kn,ke%,

c)    jeżeli x₀ jest liczbą całkowitą, x₀ = k, to

i , l/(*₀)-/(x)| = l/MI < |sin7tx| = |sin[fcn + H(x-fc)]| =

- |cos fcn • sin rt (x - k)\ = |sin n (x - x₀)| < n |x - x₀|, a więc / jest ciągła w punktach o współrzędnych całkowitych.

Z drugiej strony, jeżeli x₀$SZ, to biorąc ciąg {x,} liczb wymiernych •In oraz ciąg jy,} liczb niewymiernych zbieżny do x₀, mamy

hm im ay, ■ 0.

Zatem / nic jest ciągła w

'7. Weźmy dowolną liczbę wymierną x₀, x₀ *= Wtedy / **"'    </

liuglej strony lira    « x₀, ale Hm/^^^-Hn>~-«0s*/f

. ^Pt liczb

/ jest nieciągła w x₀.

Niech leraz x₀ będzie liczbą niewymierną. Weźmy ciąg

i miernych zbieżny do x₀. Wtedy lim q_m = oo. Ponadto

bili /(x„) =    = Jim ~ - 0 =/(x₀),

• •Kai I jest ciągła w x₀.

fakiu.

ML Wskazówka: Skorzystać z własności Darboux ora ........ . .. ,x"'^,+ ...+a₀) = +co, lim_w(x"+fl₁,-₁x*'^, + - ^+d<*⁾ “

vi. a) Podstawiając x = rcosę>, y = rsin<p (por. rozwiązanie rad

*+y

■ ■Inigicj strony \ ^ l-sin<pcos<p ^ (sprawdzić!). Stąd

I sinę> + c<

Hm

,r 1 - sin cp cos cp li) granica nie istnieje,

>) granica nie istnieje (wystarczy wziąć dwa ciągi K# 4| granica nie istnieje.

Ml a) oraz b) — funkcje są ciągłe na El²,

i) l jest ciągła wszędzie poza punktem (0, 0). Podobnie funkcja w d.

Al Ponieważ lim /(x, y) = lim /(x, y) = 0, więc obie granice iterowane ar

I /.drugiej

strony, biorąc dwa ciągi j^, ^j. |Q, - j^j

łatwo pokn

lim /(x, y) nic istnieje.