Granica i ciaglosc fukcji strp 71

(zakładamy, że ułamek ten jest nieskracalny), to / (x) = -. Pokazać, że funkcja ta, i punktach niewymiernych i nieciągła

58.    Udowodnić, że każde równanie stopnia n nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych, tzn. równanie postaci x^a+a„-+...+a,x+a₀ = 0, ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

59.    Obliczyć następujące granice:

*+y

-xy + y^{1 2}'

b) lin

1— cos(x² + y²)

, (x²+y²)x²y² '

60. Zbadać ciągłość następujących funkcji:

dla (x,y)^(0,0) dla (x,y) - (0,0), dla (x,y)#(0,0) dla (x,y) = (0,0), dla (x,y)#(0,0) dla (x,y) = (0,0), dla (x,y) # (0,0) dla (x,y) = (0,0).

dla (x,y) # (0,0). Pokazać, ż

f *v

6.1 /.badać ciągłość funkcji /: R -»R, określonej wzorem

/(x) “ [x] sin **■

64.    Pokazać, że jeśli funkcje f, g: I -* ft są ciągłe (/ oznacza przedział), to ą>(x) ■ max {/(x),0(x)}, f(x) = min {f(x\g(x)}

65.    Niech /: / -* Ift będzie ciągła, gdzie 1 jest przedziałem. Pokazać, że Itmkcja /: / -* R, określona wzorem

|«>»t ciągła i rosnąca na I.

66.    Udowodnić, że funkcja /: [a, + ao) -* R, która jest ciągła na [a, + oo) nniz która nie jest ograniczona ani z góry ani z dołu na tym przedziale, przyjmuje każdą wartość rzeczywistą nieskończenie wiele razy.

67.    Niech I będzie przedziałem i niech /:/-»IR. Określmy funkcję w W , -* IR ₊ przyjmując, że

w(/,e) = _Sup{|/(y)-/(x)|:x,ye/,|x-3l<«}, ill.i i * 0. Funkcję e -* w(x,g) będziemy nazywać modułem ciągłości funkcji /.

Pokazać, że / jest jednostajnie ciągła na / wtedy i tylko wtedy, gdy lilii tv(/,e) = 0.

68.    Wykazać, że jeśli funkcja /:IR -♦ R jest jednostajnie ciągła na IR, to łnliiieją takie liczby a > 0 oraz b > 0, że |/(x)| < a|x|+fe, dla każdego xeR.

69.    Pokazać, że funkcja /: R -* IR określona wzorem /(x) = x sin x, spełnia ii /ę twierdzenia z zad. 68, ale nie jest jednostajnie ciągła na R.

70.    Mówimy, że funkcja /: / -* R (/ jest przedziałem, a nawet dowolnym |ii>«l/biorcm zbioru IR) spełnia na / warunek Lipschilza ze stałą L > 0, jeżeli

ITM-/WI < Ł|x-j1

Pokazać, że funkcja / spełniająca warunek Lipschitza na / jest jednostajnie

»lągla na /.

71.    Załóżmy, że /:/-»R jest taką funkcją, że istnieją stałe 0 oraz " (0, Ij takie, że

1/ (x)-/(y)| ś L|x-y|*.

< > funkcji / mówimy wtedy, że spełnia warunek Hóldera (ze stałą L i z wykładnikiem a).

Pokazać, że każda funkcja spełniająca wurunck Hóldera jest jednostajnie

• uiglu nu I.

61. Niech f(x,y) = iterowane

1

y²+(x-y)² lim | lim f(x,y)j, lim | lim/(x,y)J, lieją i są równe 0. ale nie istnieje granica ^ 62. Wykazać, że istnieje granica

2

lim (x+y)sin-sin-, nic istnieją granice iterowane lim ^ lim (x + y)sin ^sin