Granica i ciaglosc fukcji zad6 54 odpowiedzi

2X2

,W>. 0. Aby to udowodnić wystarczy napisać***-^ = x —₂i zaua

37.    Granica nie istnieje.

Wskazówka: Wziąć dwa ciągi: j^,    j^, y⁼j|'

38.    2.

39. Korzystając z nierówności |sinot| < |a| oraz    < -, otn?yi#il|*n

< 14141, _|x+yl <

| x²+y² |    x²+y²    x²+y²

Stąd już łatwo otrzymujemy, że lim    - = 0.

40.    Granica jest równa 0 (por. rozwiązanie zad. 36).

41.    Wykorzystując współrzędne biegunowe, podstawmy x

y = r sin <p. Wtedy warunek (jc, y) -»(0, 0) implikuje, że r -* 0. Mamy wł*

_e~T*

lim —7—-r = lim -rr-r-j-j—r =

(*.rt-(o.o» x⁴+y⁴ r-o r*(sm*ę)+cos <P)

Nietrudno sprawdzić, że lim — 0 (wystarczy w tym celu przyjąć _f / drugiej strony sin⁴<p+cos⁴ę> = —^1,9 Wychodząc z nierówni - I *. cos4<p < 1 otrzymujemy, że ^ ^ sin⁴<p+cos⁴<p < 1.

Stąd _1ltM4'    ^ 2. Zatem

Stąd otrzymujemy, że pos/.ukiwanu granica jest równa 0.

41, a) lim /(x) = +oo, lirn^/(x) = 0; / nic jest ciągła w x - 0,

••I lun /(x) = 0, lim /(x) = 2; / nie jest ciągła w x = I,

rł lim / (x) = - oo, lim₊ /(x) = + oo; / nie jest ciągła w x = 2, i| lun /(x) = -. lim₊ /(x) = - więc / nie jest ciągła w x I, i ( żadna z granic jednostronnych w punkcie x = 0 nie istnieje,

0 Hm /(x) = — 2, lim /(x) = —2; / nie jest ciągła w punkcie \ _r

.•;    *-l+

■ ł aż A w k a: Skorzystać ze wzoru cosx -sin x = - sin ^x , )

4 »■ a) / jest ciągła,

M i/ jest nieciągła tylko w punkcie x = — 1,

• | h jest wszędzie ciągła.

44. Wskazówka: Wystarczy sprawdzić, że granica funkcji / (x, y) w punk • iu, II) nic istnieje.

4' Wskazówka: Pokazać, że fx^J dla xe(—1, 1)

IM - •! i dla X - 1 [o dla x > 1.

46. Porównaj zad. 36.    47. Porównaj zad. 37.

46 Ciągłość w punkcie x = 0 wynika stąd, że |g(x)| ^ |x|, dla xeR

«*,|C.    51.0-2.    51 o-i,

Przykładem takiej funkcji jest /(x) = [x], xeR (część całkowita

*4 a) Z nierówności ^ -1 <    < — mamy, że 1 — x < x j | < 1. Stąd

iita. ze granica jest równa 1,

ki mnożąc licznik i mianownik naszej funkcji przez 1 +cosx- _N/cos2.x • i mniemy:

i i no ,/coa 2x 1 — cos²x cos 2x _

*    x*(1+cosx_n/cos2x)

I 2 cos⁴x + cos^Jx