Pochodne fukcji rozniczkowalnosc zad 1 7 odpowiedzi

**• Niech AcX, A * 0, A =A. Weźmy yef(A). Wtedy istnie)* | (y.l ^r-/(<4) (por. zad. 49. rozdz. V) taki, że y„ -* y przy n -* oo.

Zoąjd/my teraz ciąg {x„}e,4 taki, że/(x„) = y„. n !, Z... Ponicwał | |c»l relatywnie zwarty (bo jest zbieżny do y) w zbiorze/M), więc/ '({y.))!•'< relatywnie zwarty (na mocy założenia). Ale {x_B}c/ '({y.}) zatem (»„|j relatywnie zwarty. Stąd wynika, że {x„} zawiera podciąg zbieżny do pev»n«| elementu xeX. Bez straty ogólności możemy założyć, że sam ciąg | *J I zbieżny do x. Ponieważ {x„}c f \{y_m))cA oraz A jest domknięty, więc Z ciągłości funkcji / wnioskujemy, że y. = /(x J -*/(x) = y. Stąd y - /(x)#/J zatem /(^) jest domknięty.

• Przykładem takiej funkcji jest funkcja /: I 0, - I -* ft określona w«o£

Funkcja / jest, jak łatwo sprawdzić, ciągła na przedziale J^O, ^ |. a *(

jednostajnie ciągła na tym przedziale. Z drugiej strony, dla dowolnie ustalufl ae(0, 1] mamy

lim = lim = lim ay“ = + oo ^x-*o x* ,-♦» lny y- + «>

(na mocy twierdzenia de PHospitala). Zatem funkcja / nie spełnia u .u mil Hóldera z żadnym wykładnikiem a, ae(0,1] oraz z żadną stalą dodatnią / 90. Wskazówka: Skorzystać z zad. 83.

POCHODNE FUNKCJI. RÓŻNICZKOWALNOSĆ

i, m-(g+jtm , _ili?, ^=1,

- n_m<y9 + 4Żi-3)(_v/9+4fi + 3) ₌    9+4h—9 _

M>+4/i + 3)    “o /i(_v/9 + 4/i +3)

Itm *— = - = ?.

»-o > + 4/1 + 3 6 3

I /'(0 + ) = 0.

1 .)/'(-!)= -1,

g(\+h)-g(l)

h    * - o 3 (3 + /i) • /i

•) V(2) - 5

4.) /ki. 1) - to/((».m-.(ŁD)-/(M),    +0

_|lm 0 + 2l)³+(l + 2t)(l +t)+3(l + l)—1—4 _

lim *⁺4t+4t¹ + l + 3l+2t^ł + 3 + 3l—5 _ _Um 61^+JOt

H #i(4.5) - 0, c) kid.O,-1| - -5.

»■ / II)- —1. Wskazówka: Obliczyć /'(I +) i/'(l—)■ » / '12) - -3.

' / (<> ) - 1. /' (0 +) - 0, ma f ffl ule inataK