Ebook4

98

Rozdział 1 Rat hunek różniczkowy i jego zastosowanij

d) Niech x G (—00, —2) U (2, +00). Wtedy

/ ^A^ex3(^x + 2) - (3z²e^l3(£ + 2) + e*³) ln (x² - 4)

^    e^2x3(£ + 2)²

- e^x\3x³ + 6£² + 1) ln (x² - 4) e^2x3(x + 2)²

~ (3x³ + 6x² + 1) ln (x² — 4) e^l3(x + 2)²

PRZYKŁAD 8. Korzystając ze wzoru [/(£)]^^x) = e⁹^ ^ln^(^x), f(x) > 0, obliczyć pochodne funkcji

a)    y = x^sinx,

b)    ?/ = (ln x)^x.

ROZWIĄZANIE.

a)    Dla x > 0 mamy y = x^smx = e^sinxlnx. Wtedy

y = (e^sinI,nI)' = e^sinllnx(sinxlnx)' = e^sinll,,I('cos2:lnx + ^j =

. sin£\

cos x ln x H--.

£ )

b)    Dla £ > 1 mamy y = (ln£)^x = _e^xln(^lnx). Wtedy

y‘ ₌    (e^ll"<^l"^I))' = e^lln(lnI>(xln(lnx))' = e^lln(lni) ('ln(lnx) + -^—) =

V    £m£/

= (lnx)^x(ln(lnx) _{+ s}U.

PRZYKŁAD 9. Obliczyć pochodne funkcji:

a)    y = log₄ (36 - £²),

b)    y = \og_x (36-£²).

ROZWIĄZANIE.

a) Niech x € (—6,6). Wtedy

, _    —2x

^    (36 — £²) ln 4

^t\.2. MonotonicznoAĆ i ckstn ma lokalne funkcji

99

l>) Niech x € (0,1) U (1,6). Skorzystamy ze wzoru

ln .9(2:)

log_f(_x)g(x) = ■ ^ jr-j, gdzie g(x) > 0,f(x) > 0,f(x) ^ 1.

Mamy

.    ₂. ln (36 — x²)

y — l°gx(36-x ) =    ¹

Następnie

,    36-1^ ~ ^ln(3x ¹ ^    — 2x² Ina: — (36 — x²) ln (36 — x²)

ln²a:    a:(36 — x²) ln² x

1.2 Monotoniczność i ekstrema lokalne funkcji

twierdzenie 4.4. (Lagrange) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, bJ 1 różniczko walna na przedziale (a. ó), to istnieje punkt c 6 (a, b) taki, że

M z M_ /'_(c).

b — a

Z twierdzenia Lagrange’a wynika następujący wniosek.

Wniosek 4.1. Niech I oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego x € / funkcja f spełnia warunek:

|) f'(x) = 0, to f jest stała na I,

2)    f'{x) >0, to f jest rosnąca na I,

3)    f'(x) < 0, to f jest malejąca na 7.

Wniosek 4.1 można stosować do znajdywania przedziałów monotoniczności funkcji.

PRZYKŁAD 10. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji:

•0 f(^x) ⁼

l>) g(x) = 4x + d