Ebook0

130

Rozdział 4. Rachunek różniczkowy i jego zastosowaniu

4.10 Odpowiedzi do zadań

Zad.]

c) y' = e) y* =

^ ^y> 2v/i(HV2^)2 > ^l>) 2/⁷ “ x (lnx    2)’

^e'^inX (cosrrarctg^ - ^^j). d) y¹ = -\tgx,

__⁴*+³ -I__L_ {) y> -    __1

_v/l-(2x²+3x)²    l+i²’    ' ^y x²-l x ln x ’

|r(l - lnz), h) y' = (tgx)^8,ni (cosxlntgx + ^),

g) 2/' =

i)    2/ = (arctgx)^x ^Inarctgrr

j)    2/ =

+

(l+x²)arctg

2xarcsin3x + —r*² ,--..------

\/l —9x²    3 ?/(l+x²)⁴

Zad. 2. c) y" = f) 2/" =

a) 2/' = ^, b)y" = x*[(l + lnx)2 + I],

= 180x(x³ - 2)¹³(llx³ - 1), d) y" = 41nx, e) y" = 2vd"^?,

- 16x (l-ł-4x²)^

Zad.3. a = 1, b = 0, maksimum.

Zad.4. a) minimum lokalne x =    /(|) = 2 + 5arctg maksimum lokalne

x = — 5, /( — tj) = —2 —5arctg b) brak ekstremów, c) minimum lokalne x = 1, /(l) = 0; maksimum lokalne x = e^-4, /(e^-4) = 32, d) minimum lokalne x = 0, /(0) = 0; maksimum lokalne x = y/2, f(y/2) = maksimum lokalne x = — y/2, f(—V2) = |, e) minimum lokalne x = —2, /(—2) = 2gj maksimum lokalne x = 0, /(0) = 4.

Zad.5. a) / rośnie na przedziałach (—\/6,0), (\/6, +00); / maleje na przedziałach (—00, — \/6), (0, \/6), b) / rośnie na przedziale (2, +00); / maleje na przedziale (0,2), c) / rośnie na przedziałach (—00, —1), (l,+oo); / maleje na przedziale ( — 1,1), d) / rośnie na przedziale (0,2); / maleje na przedziałach (—00,0), (2, +00).

Zad.6. a) minimum lokalne x = 1, a(l) = 2; maksimum lokalne x = —3, a(—3) = —6, b) brak ekstremów, c) minimum lokalne x = — 3 — \/5, c(-3-\/5) = -; maksimum lokalne x = >/5 — 3, 0(^-3) = _1Q^^g>

d)    minimum lokalne x = 0, d(0) = 0; maksimum lokalne x = 4, d(4) = g,

e)    minimum lokalne x = 1, e(l) = 0; minimum lokalne x = 2, e(2) = 0; maksimum lokalne x = ~⁹~/³^, e    = ²(⁵^^^³?-).. _maksimum

lokalne x = ^v^~⁹, e ^    ,⁹^ —    » f) minimum lokalne

X — 1, /(1) = 1; maksimum lokalne x = 0, /(O) = —1, g) minimum lokalne x = — 3 — \/3, <7 (—3 — \/3) = — y/3 — 12; minimum lokalne x =* 1, </(l) = maksimum lokalne x = \/3 — 3, g (\/3 — 3) = \/3 — 12 h) minimum lokalne x = —2, h( — 2) = 68; minimum lokalne x = 6, /i(6)    60;

maksimum lokalne x = 3, h(3) = —57, i) minimum lokalne x    y/e,

i(y/e) = 2eln2, j) minimum lokalne x = 1, j(l) = ln2 — maksimum lokalne x = 0, j(0) = 0, k) minimum lokalne x = \/3_} k(\/3)    v^3< ,    1)

minimum lokalne x = 3, /(3) = 9 —2e³; maksimum lokalne x = 0, /(())    H

Zad.7. a) P(e~³, —3e^-6), b) Pi(l-\y/2, yfe), P₂(l+^, V^), c)Pi(0,0), P₂    27±15^3_e-3-^y p₃    _ _d)    ^e"³),

e)

2ad.8. a) P,(-A,-#), P₂(0,0), P₃(A,#), b) P, (-A,-¹#), P₂(0, 0), P₃ (A ^3) , c) P, (-2 - A, ^), P₂( A - 2, b^2), P₃(l, 1), d) P, (3A5 - 10,    P₂(-l, 1), P₃ (-3 A5 - 10,

C)P(-A,-§A),    f)p(^-l,|-A-Jln2), g)p(e-|,-|e-8),

h)    P, (e<^-³>/²,    P₂ (_e<-3-A/2,

i)    P(e§,e§ + |e-l), j) P, (e<³-^>/², I=3A_e<^-W²),

P₂ (e<³⁺'/³>/², X±3A_e(-3-A)/2^ , k)P₁(0,l),P₂(yf,e-?), l)P(ln2,j),

Zad.9. a) 2,    b) 1, c) -g,    d) -i, e) -§, f) -f, g)

h) 16, i) 2,    j) -2, k) 1,    1) 0, m) 0, n) 2, o)-l,    p) 0,

r) e, s) t) e⁴, u) 1, v) 4.

Zad.12. f(x) = x⁴ - 10x³ + 37x² - 60x + 35, /(-1) = 143, /'(0) = -60. Zad. 13. P₂(l,18).

Zad. 14. a) x = 1 asymptota pionowa obustronna, y = 3x -f 3 asymptota ukośna w — oo i +oo, b) y = 2x + | asymptota ukośna w -f oo, y = 2x — 5 asymptota ukośna w —oo, c) x = — 1 asymptota pionowa obustronna,