Ebook3

96 Rozdział 4. Rachunek różniczkowy i jego zastosowaniu

d) y = x³5^xarctgx.

ROZWIĄZANIE.

a)    Niech iGł Wtedy

^y' ⁼ 5(^:r4)^,_l(^a:3)^{/ + 4}(^:E2)^/-(⁵)^, = ~4x³-^-3x²+4-2x = \x*-2 x²+H.i

o    o    o    o    2

b)    Niech x > 0. Wtedy

y = 2(x~⁶)' + 4(x3 )' — (x~4)' =    — 12x^-7 + ^x~3 + ^x~* =

12    4    3

~J ⁺ 3^2 ⁺ 4^7'

c)    Niech x 6 IR. Wtedy na podstawie Twierdzenia 4.2 i podanych wzorów mamy

,    (x² sin x)'(cosx + 5) — x² sin x(cos x T 5)'

(cosx + 5)²

((x²)'sinx + x²(sinx)')(cosx + 5) — x² sinx(—sinx)

(cos x -f 5)²

(2x sin x + x² cos x)(cos x + 5) + x² sin² x (cosx 4- 5)²

x(sin 2x + 10 sin x -f 5x cos x + x)

(cosx + 5)²

d) Niech x € IR. Wtedy

1

1 + x² x

1 -f x²

y' = (x³5^xarctgx)^/ = [(x³5^x)arctgx]^/ = = (3x²5^x + x³5^x ln 5)arctgx + x³5^x

= x²5^x ( 3arctgx -f x ln 5 • arctgx +

Twierdzenie 4.3. (o pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie xo i funkcja g ma pochodną w punki n f{xo), to

{9 ° f)’(xo) = (g{f(xo))' = 9^>{f(xo))f^,(x₀).

Prawdziwy jest analogiczny wzór dla dowolnej liczby składanych funkcji.

1'lłZYKŁAD 7. Obliczyć pochodne funkcji: n) y = sin⁵ x -1- (3x² + l)³, l>)V = e^cos^(f^|)⁴, «) y = v^sinx³ + 4^arctg(x),

(1) y =

ln fx² —4) e^x‘ (x+2)

IIOZWIĄZANTE. w) Dla x € K mamy

y' = 5sin⁴ x(sinx)^/ 4- 3(3x² + l)²(3x² + 1)^/ = = 5 sin⁴ x cos a: + 3(3x² + l)²6z =

= 5sin⁴ z cosz + 18x(3:c² + l)².

li) Niech x > 0. Wtedy

x² — 1 x² + 1

₃COS \fx _

— gCos -fi

2 v/i

sin \[x

- 1\

x² + 1

i

+

+    2x(ic² + 1) ~ {x² - l)2z ^ _

\x² + l )    (X² + l)²

= e^cos

(x² + l)²

y/x ( X² - 1 V / {x² - 1) sin y/x

x² + 1 /    \    2>/z(z² + 1)    ' (z² + l)²

+

16z

pcos {x² — l)³ /(I - x²) sin sjx 16x k    ——    ¹    +

(z² + l)⁴

<:) Dla x / 0 mamy

2y/x

Z² + 1

r

y

1    2    _r²

^ (sin z³) ⁵ • 3x² cosx³ + 4^arctg^hn4—2--

z² cos z³ 4^arctg(x)ln4