Ebook1

92 Rozdział Rachunek różniczkowy i j^r9^(> zastosowania

f w punkcie xo nazywamy granicę właściwą lim    " ¹ oznaczamy ją

X ^ Xq

symbolem f'_{xo).

Podobnie definiujemy pochodną prawostronną funkcji / w punkcie xq. Mamy

f+(x₀) = lim,

f(x) - f{x₀)

X — Xq

Twierdzenie 4.1. Funkcja f ma pochodną w punkcie xq wtedy i tylko wtedy,

gdy f-(xo) = /+(zo)-

Definicja 4.3. Funkcję określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe f'(x) nazywamy pochodną funkcji na przedziale i oznaczamy f'(x). Mówimy, że funkcja jest różniczko walna na przedziale, jeżeli posiada pochodną w każdym punkcie tego przedziału.

PRZYKŁAD 1. Obliczyć (o ile istnieje) /'(1), jeżeli

_f(x)=    (-p + T* dla x < 1

y/x 4- 3    dla x > 1.

ROZWIĄZANIE.

Na podstawie określenia funkcji mamy /(1) = 2. Obliczamy pochodną lewostronną, a następnie pochodną prawostronną

— lx² + ^x — 2    — l{x — l)(x — |)

1) = lim —*--= lim    ^ =

x—* 1^—    X — 1    1—1-    X - 1

" irH (*-?)) = i

/+(!) = ^lłm

\J x + 3 - 2

1+3-4

i—l+ x - 1

= lim

x—1+ x — 1

= lim

x—1+ yjx + 3 + 2

I I Obliczanie pochodnych funkcji

IWierclzenie 4.2. Jeżeli istnieją pochodne f'{x) i g'(x), to

(/ + g)'(x) = f'{x) + g'{x),

(/ -g)'(x) = f'{x) -g\x),

(kf)\x) — kf'(x), gdzie k G R, (/ • g)'{x) = f'{x)g(x) + f(x)g'{x),

o ile g{x) ^ 0.

(    ~ f(^xW(^x)

UJ^{(x) =} —w—

1'UZYKŁAD 2. Wykazać słuszność wzoru

(/ ■ tf)'(zo) = f'(x₀)g(xo) + f{xo)g'{xo),

przy założeniu, żc istnieją pochodne f'(xo),g'(xo)-HOZWIĄZANIE.

\'ii podstawie Definicji 4.1 otrzymujemy

(f-g)\x o) = lim

f{x)g{x) - f(x₀)g(x₀) _

= . lim

X—*XQ

f(x)g(x) - f{x₀)g{x) + f{xq)g{x) - f{xa)g(xq) x — xo

= lim

x—*xq    X — Xq

[f(x) - f{x₀)]g{x) 4- f(x₀)[g(x) - g(x_Q)]

=    _hmMjzIM_g{x)+ lim_/(xo)£M^f2) =

i—*10    X — Xo    x—i>X0    X — Xq

lim g(x) +

= lim

f(^x) ~ IM

x—*xo    x — xo x—x₀

+ lim /(xo) lim ^9{X) - ⁹^ -

x—*xo    x—*xo    X — £()

=    /^,(xo)^(x₀) + f(xo)g^,{xo).

1’IIZYKŁAD 3. Korzystając z definicji, obliczyć pochodne funkcji n) f(x) = y/x, gdzie x > 0,

1>) tfUO = ^4, gdzie x ^ -4.

ROZWIĄZANIE.

n) Niech xq 6 (0, +00).