Ebook7

104 Rozdział 4. Rachunek różniczkowy i jego zastosowania

4.3 Wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia wykresu funkcji

Definicja 4.G. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xq, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S punktu a?o, że dla każdego x £ S punkty A = (x,/(x)) wykresu leżą powyżej (poniżej) stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w punkcie (xo,/(xo)). Wykres funkcji f(x) wypukły (wklęsły) w każdym punkcie x £ (a, b) nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) na przedziale (a, b).

Definicja 4.7. Punkt P(xq, f (xo)) nazywamy punktem przepięcia wykresu funkcji f, jeżeli wykres ten jest wklęsły na przedziale (xo — ó, Xo) i wypukły na przedziale (xo,xo + <5) albo odwrotnie.

Twierdzenie 4.9. (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Załóżmy, że funkcja f posiada ciągłą drugą pochodną na pewnym otoczeniu punktu xq. Jeżeli punkt (xo,f(xo)) jest punktem przegięcia krzywej y = f(x), to f"(x₀) = 0.

Twierdzenie 4.10. (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f spełnia warunki: f"(xo) = 0 i istnieje liczba 6 > 0 taka, że f"(x) > 0 dla x £ (:ro — (5, xo) i f'{x) < 0 dla x € (xo, xo + (5) lub f"{x) < 0 dla x € (xo — ó, xo) i f"(x) > 0 dla x € (xo, xq + (5), to krzywa y = f(x) ma punkt przegięcia w punkcie o odciętej 2:0.

Krzywa y = f{x) może mieć punkt przegięcia w punkcie, w którym f" nic istnieje. Przy pomocy drugiej pochodnej można ustalić przedziały, na których funkcja jest wypukła albo wklęsła.

Twierdzenie 4.11. Załóżmy, że funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale (a,b). Jeżeli dla każdego x £ (a, 6) zachodzi nierówność f"{x) > 0, to krzywa o równaniu y — f(x) jest wypukła na przedziale (a, b), a jeżeli f"{x) < 0, to krzywa o równaniu y = f(x) jest wklęsła na tym przedziale.

PRZYKŁAD 13. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji:

<0 /(*)-%.

1)) f(x) = xe~^^x2.

ROZWIĄZANIE.

u) Funkcja f(x) = jest określona dla x > 0. Obliczamy pierwszą, a następnie drugą pochodną funkcji

1 rz 1 l-- 2x—x ln x    ,

/'(*)

/"(*)

iV^x 27Z^lnx ₌ 2xy^ ₌ 2- Ina;

X    X    2xy/x ’

~^2xx'^ ~ (2 - lna;)3_>/a _

4x³

—2yjx — §\fx + Sy^lna; _ ^(Slnz —8) 4x³    4x³

gdzie x £ (0, +oo).

Na podstawie Twierdzenia 4.9 szukamy punktów, w których wykres funkcji może mieć punkty przegięcia. Mamy

}"(x) = 0<=> ^v/^³¹ⁿ^—= 0<=s- v/S(31nz-8) = 0. Ponieważ x £ (0, +oo), więc

f"(x) = 0    31nx — 8 = 0 <=> lnx = — <==> x = e«

O

Przy pomocy znaku drugiej pochodnej ustalamy przedziały wypukłości oraz wklęsłości funkcji. Ponieważ x³ > 0 i y/x > 0 dla x £ (0,+oo), więc otrzymujemy

3    8    H

f"{x) > 0 <=> 31nx — 8 > 0 <=> lnx > - x > ea <=$■ x £ (e*,+oo),

ó 8 8

f"(x) < 0 lnx < - x < ea. j \ j    ₃

Q

Ponieważ x £ (0,+oo), więc f"(x) < 0 ==> x £ (0, e5).

g

Zatem funkcja jest wypukła na przedziale (e3,+oo), natomiast jest wklęsła na przedziale (0,ea). W punkcie o odciętej x = ea funkcja /