Ebook9

108

Rozdział A. Rachunek różun kowy i jego zastosowania

4.4 Obliczanie granic funkcji

Twierdzenie 4.12. (de L^!Hospital) Załóżmy, ze funkcje f i g są określone w pewnym sąsiedztwie S punktu xq oraz spełnione są następujące warunki

1)    lim f(x) = lim g(x) = 0,

X—*X()    X—>Xo

2)    dla każdego x G S istnieją pochodne f'(x) i g'(x) oraz g'(x) ^ 0,

3)    istnieje granica lim ^777! (właściwa lub niewłaściwa).

X—»Xo ⁹

Wtedy istnieje granica lim (odpowiednio właściwa lub niewłaściwa)

x—»xo

oraz

y /'(*)

^hm ~TT\ x—x₀ g (x)

f(^x)

9(2)

lim

X—+XQ

Twierdzenie to pozostaje prawdziwe, gdy warunek 1) zamienimy na następujący lim f(x) = lim g(x) = +00 (lub -00), a także w przypadku

X—>Xq    X—*Xo

granic jednostronnych oraz granic funkcji, gdy x —► +00 (lub x —> —00). Pozostałe symbole nieoznaczone 0 • 00, 00 — 00, 0°, 00, I⁰⁰ można doprowadzić do wyrażeń typu g lub Dla symbolu 0 • 00 wykorzystujemy tożsamość

f(*)

1

ofZ)

(wtedy otrzymujemy symbol []) lub

⁽j(^x)

7(x)

f(x)g(x) =

(wtedy otrzymujemy symbol ^2). Przy symbolu 00 — 00 można wykorzystać tożsamość

f(x)-g(x) =

71

która prowadzi do symbolu g.

Przy pozostałych symbolach 0°, oo°, I⁰⁰ korzystamy ze wzorów [f(x)]^!l^ = _e9(x)    gd_zi_e f(_x) > 0 oraz lim e^p^^x' — e^x~^x° . Następnie, jeżeli

* Xq

zajdzie potrzeba, to stosujemy wyżej wymienione tożsamości. Zilustrujemy to na przykładach.

PRZYKŁAD 16. Korzystając z twierdzenia de L’Hospitala, obliczyć granice: a) lim

_n . In cos 2x ’ x—*0⁺

b) lim

x—*0

e^x-gx³-*x²-x-l cosi+ji² —1

o) lim

x—*4-oo    ^1,1 x

(1) lim f-ri---— V

^ _I^_7r V^{sinx    łr}“^x/’

20-¹,

\ ^sin x

3

2x

e)    lim x²e

x—*4-oo

f)    Bm (i)

g)    lim(tgx)^tg21, h) lim ¹

x—*0 vsinx

:\    1—cosxy^cos2x

¹ x—*0

ROZWIĄZANIE.

a)

lim

ln cos x

*o+ lncos2x

(§1    (In cos x)

= lim —-—— = lim

x—*o+ (lncos2x)'    x—*o⁺

^(~^sinx)

(—2sin2x)

cos 2.r

tg x

i

= lim

_____    lim

x—*o⁺ 2tg 2x x—*o⁺ —4 b)

lim

x—>0

_ 2.    _ 1 rp2 /« 1

C/    g U/    2 ^    tb    i

cosx + ^x² — 1

i lim ^e* - l*² - ^x - ¹ l|

x—o — sinx + x

= lim

x

1 O

x—*0 — cosx + 1

,x

= lim

x—*o sinx

¹ 'I lim ⁶³

x—*0 cosx

= 1,

c)

lim

-*4-oo

V6x- 11 Ig

lnx

= lim

x—*4-00

= lim -

x—*4-oo

11

= lim

3x

1221

* 4"00 y/Qx — 11

2i/6x—11

= lim \/Qx — 11 = +oo, x—*4-00