Ebook4

78 Rozdział 3. Granu a i < u włość funkoj(

PRZYKŁAD 11. Obliczyć granice: a) lim (5 cos a; — 42),

x—*+oo

b) lim x—*6~

2xi 6—x

gdzie [a] oznacza cechę liczby a.

ROZWIĄZANIE.

a) Ponieważ V_x€r — 1 ^ cos z ^ 1, więc V_xGr 5 cos 2 — 42 ^ 5 — 42. Mamy także lim (5 — 4x) = —oo, zatem z Uwagi 3.2

x—*+oo

lim (5 cos x - Ax) = —oo.

x—»+oo

2x²    2x² _ i

6—x    6—x

b) Ponieważ V_xGr [2] ^ x — 1, więc V_x€r

Obliczamy lim ( gf- — 1 1 = -foo i po skorzystaniu z Twierdzenia 3.3

x—*6" \°    /

o dwóch funkcjach mamy

lim

x—*6~

2x² ' 6 — x

= -foo.

3.2 Ciągłość funkcji

W tym rozdziale podamy podstawowe definicje i twierdzenia dotyczące funkcji ciągłych.

Załóżmy, że D CK oraz D ^ 0. Niech zadana będzie funkcja /: D —* R.

Definicja 3.4. Będziemy mówić, że funkcja / jest ciągła w punkcie xą (20 € D), jeżeli dla każdego ciągu (2„) takiego, że (2_n) C D oraz lim x_n =

n—»oo

20 zachodzi lim /(x_n) = J(xq).

n—*00

Definicja 3.5. Niech /: D —> R oraz niech A będzie niepustym podzbiorem zbioru D. Będziemy mówić, że funkcja / jest ciągła na zbiorze A, jeżeli / jest ciągła w każdym punkcie zbioru A.

Analizując podaną wyżej definicję ciągłości funkcji (Definicja 3.4) oraz definicję granicy funkcji (Definicja 3.2), można dostrzec zarówno podobieństwa, jak i różnice w nich występujące.

W celu precyzyjnego wyrażenia tych podobieństw i różnic przeprowadzimy |Midział wszystkich punktów zadanego zbioru D (D C K) na dwie klasy:

I) Do pierwszej klasy zaliczymy wszystkie punkty zbioru D, które są jego punktami skupienia (por. Definicja 3.1).

Do drugiej klasy zaliczymy te punkty zbioru D, które nie są jego punktami skupienia; punkty te nazywamy punktami izolowanymi zbioi u D

Teraz możemy sformułować następujące, ważne w zastosowania li i win dżemie.

Twierdzenie 3.5. Niech f: D —> R oraz niech xo € D.

u) Jeżeli xq jest punktem izolowanym zbioru D, to f jest ciągła w punkcie zoli) Jeżeli zo jest punktem skupienia zbioru D, to f jest ciągła w punkcie xo wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica lim f(x) oraz

x—»io

lim f(x) = f(x₀).

X—'Xo

I Iwaga 3.3. Z powyższego twierdzenia wynika, że każda funkcja jest ciągła we wszystkich punktach izolowanych swojej dziedziny. Zatem istotne jest tylko badanie ciągłości funkcji w tych punktach jej dziedziny, które są punk lutni skupienia tej dziedziny.

Definicja 3.6. Wielomian, funkcję wymierną, potęgową, wykładniczą, lo-garytmiczną, funkcje trygonometryczne i cyklometryczne oraz wszystkie Ir, które otrzymujemy z wymienionych funkcji za pomocą czterech działań arytmetycznych, składania i odwracania stosowanych skończoną ilość i ozy nazywamy funkcjami elementarnymi.

Twierdzenie 3.6. Funkcje elementarne są ciągłe na swoich dziedzinach.

^rl\vierdzenie 3.7. Jeżeli funkcje f i g, określone w tej samej dziedzinie D, są ciągłe w punkcie xq G D, to funkcje: a • f(x) (a =const), f -f g, f — g, f ■ g, L {gdzie g{xo) / 0) są ciągłe w punkcie xq.