Ebook3

5G liczbowe

PRZYKŁAD 13. Obliczyć granice:

a) irn^    i ₂i» i .3«-r.

1>) lim s/\ • 3²"-* • 2"+> + 2 • 3^{,, f 1} • 5^,,J1 + 5~2³"-²,

n—»oo

c) lim ^5 • ^5 •... • ^j75,

62'

n—*00

ROZWIĄZANIE.

u) Korzystając z własności potęg, przekształcamy wyrażenie. Następni dzielimy licznik i mianownik przez -18'* i stosujemy Twierdzenie 2.12

lim

3 • G"-¹ • 2³ⁿ⁺² - 5 • 5^n_1 • 2^2,h2 + 8

n-oo 8 • 2^2n-2 • 3²"^-1 - 9 • 2^4n_1 • 3"~²

2 • 48ⁿ — 4 • 20" + 8    ..    2-4-(jg)" + X

- lun —5-;-= lim —r.—-p— = -4.

n-oo jj . 36" - \ ■ 48"    —00    $•(■$)"-$

»>)

lim v/4 • 3²"^-1 • 2^łHl + 2 • 3ⁿ⁺¹ •5"^_1 + 5 2³ⁿ"² =

i/f:

n—oo V 3

G    ^r>

18'* + - • 15" + - • 8" = 5

c) Przekształcamy wyraz ogólny ciągu i kor/ystarny ze wzoru na sumę n )>oeząt kowyeli składników ciągu geometrycznego (dla q / I)

S_n = <*)

i - <?•

a następnie stosujemy Twierdzenie 2.12. Otrzymujemy

dar

1 • V 31

lim ^5-yS..... "75= lim    = lim 5⁵    *    = \/5.

Tl—OO    M—OO    Tl—OO

d) Mamy a_n = *^1^+5^+.?" ^W mianowniku występuje suma n początkowych składników ciągu geometrycznego. Zatem

Stosując powyższy wzór oraz Twierdzenie 2.12, marny

G • 2

2n— 1

-9-5

rn+1

lim

3 • 4" - 45 • 5^r

lim --=--=-——    MIII    -_r-_r

n—oo 5 + 5² 4- 5³ + .. . + 5ⁿ    n—oo    jj . 5” — J

3 ■ (#)" — 45    4

: lim ——*-= -45 • - = -36.

3 -    ⁵

IM(ZYKl.AI) M Oliliczyó granico: il) lim (3n 4- 1) ^>/4h⁴ - 3z* 4- 2 - 2n²^,

lii lim    4w-3

•i .no '/'JriJ~2n^-f 7m³ + 5 —3»i^a-ł-2n ’

«)„'L™ ^VB!^S^L2b.

d) lim (\/4ul - Gr#. 4- 7 - 4nV o) lim (\/27n³ 4- 4n² - 5n — 3?iV

n—oo \ __ /

|) Imi V^^f|i *• v^^t|/r •<»*'■* n ^M *°° V8n³^V^'‘-Vn^l

ItOZWIĄZANIE.

v 4n⁴ — 3n 4-2 4- 2n^a

a) Korzystamy ze wzoru a - b ^a-i po przekształceńiaełi otrzymujemy lim (3n + 1) (>/4n⁴ - 3n + 2 - 2n²) = lim (Ą+UMn + a) _

n—oo    V    /    n—oo wĄn⁴* — A

lim

—9n² 4- 3n 4- 2

lim

-9 + ^+i

M“*oo v/4ń⁴ - 3n 4-2 4- 2n²    '»-<»    ^ ₊ £ + 2

10

4rr - 3

n .00 ^/On⁴ — 2n³ 4- 7n² 4- 5 — 3n² 4- 2n

= lim

n *oo

(4n - 3) ^\/9ri⁴ - 2ri^:i 4- 771² 4- 5 4- 3/r² - 2nj n-^oo 9n⁴ - 2n³ 4- 7n² 4- 5 - 9n⁴ 4- 12n³ - 4n² (4n - 3) (vA>n⁴ - 2n³ 4- 7u² 4- 5 4- 3n² - 2nj 10n³ 4- 3n² 4- 5

(4-2)(\/9-ł + i + *+3-i) 12

Inn --

10 4-