Ebook0

50

RozA ial2 Ciągi liczbowe

PRZYKŁAD 8. Obliczyć granice:

^„'iSŁn+sfeW¹

, .    2+5+H+... + (3w-l)

^ _nlI2o 3-f 5+7+’!!+(in+3) ’

C) lim

n-*oo U+lV ROZWIĄZANIE.

a) Przypomnijmy wzór na sumę k początkowych składników ciągu arytmetycznego:

_c «1 + ^ak ,

5, == —— k.

Stąd otrzymujemy 1 + 2 + 3 + ...+n = ⁿ^ⁿfⁱK Na podstawie wzoru (JJ) =    gdzie n ^ k, mamy

cr-

n + 2\ _ (n + 2)! _ rt!(n + l)(rt + 2) _ (n + l)(n + 2)

2n!

2!n!

Zatem

O

lim —— _    _    ...

n—«oo (1 + 2 + 3 + . . . + 7ł)¹

_lim j(7t+ l)(n + 2) _ (jn(n + l))¹

= lim

5(n + l)(n + 2)    2n + 4

^A-— lim -

0

n—oo |n¹(n + l)¹ n-«oo n³ + n¹

b) Zarówno w liczniku, jak i w mianowniku występują sumy początkowych składników ciągu arytmetycznego. W sumie występującej w liczniku jest n składników (pierwszym jest 2, a ostatnim 3n — 1), zatem

2 + 3n - 1    1₂

—-n = -(3n¹ + n).

W sumie występującej w mianowniku jest n+ 1 składników (pierwszym jest 3, a ostatnim 2u + 3), zatem

(n + 1) = n* + 4 n + 3.

3 + 5 + 7 + ... + (271 + 3) =

3 + 2n + 3,    . „,    2

Stąd

J|(3n¹ + n)

lim ^    ^    ®    • • • d" ~ 1) _ j.^

n—oo 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 3) n—oo n¹ + 4n + 3

3n¹ + 7i

= lim „    ' " ■ = lim -a ⁿ a ■ =

n—oo 2n¹ + 877 + 0    «—oo 2 + * + jj* 2

• ) Jeżeli do licznika zastosujemy wzór na sumę kwadratów n początkowych liczi) naturalnych

l² -f 2² + 3² + ... + ń* =

₂ n(n + l)(2n -ł-1)

G

In otrzymamy

„    l ² + 2² + 3² -f ... + u²

urn

n-*oo

Wi/

_ „_m H"+»)(»> + »

+ 1 )(2n -f 1)

(n-f 4)1

n(n + l)(2n + 1)

„ .oo    (^w.f¹ ?¹    n *oo (n -ł- 4)(n + 3)(7i + 2)

i¹ + £)(² + „)    ₉

(i + J)(i +J)(i + j})

Przy obliczaniu granic ciągów można wykorzystać znano granice:

lim \/n = 1,	(2.1)
n—»oo
lim = 1 dla a > 0. n—»oo	(2.2)

1'HZYKŁAD <). Obliczyć granice: r) lim (6r?⁸ + 4n³ -I- 3n² - 7n),

n-*oo __

li) lim \/6n^fl + 4n³ ■+■ 3?i² — 7n,

II—«oo _

i) lim \/();i^g + 4u³ -f 3/i² - 7n.

f»-*Oo

IIOZWIĄZANIE.

a) Wyłączamy n⁸ przed nawias i otrzymujemy

lim (Gh⁸ + 4n³ + 3n² - 7n) = lim «^K (G + ■— + -Ł —-L J = +oo. n 'oo^v    '    «-*oo    \ n° ti° n J

li) Postępując podobnie jak w a), mamy

r 7\    3 T

V⁶⁺ń* ⁺ ń«~rf ⁼

lim \/6ri.^K + 4n³ + 3?i² — 7n = lim n⁴

fi •<»    n—*oo

+00.

1

+ 5 + 8 + ... + (3n - 1)