Ebook1

M

!, Ciągi limbowe

c) Al>y obliczyć granicę, zastosujemy równości (2.1) oraz (2.2)

lim \/Grt⁸    + 4n³ + 3n* - 7n    = lim    \ n^H    (6    + -—    +    =

» *oo    »»—*oo    w    y n" n° iv J

lim (\/n)^K \A> +    + 4 “ “7 = 1,

n-«oo    V n° n° n⁷

Twierdzenie 2.9. 7eie/» lim a_t, — 0 oraz a_u / 0 dla każdego n e N, to

lim (1 + o,,)"" = e.

n—»oo

Twierdzenie 2.10. Jeżeli dla ciągu (a,,), gdzie a_n / O dla każdego n 6 N, istnieje granica lim |^^±AI = o < 1, to lim a,. - 0.

«—*00 I " I    »—«oo

11 waga 2.2. Jeżeli dla ciągu («„), gdzie «₇, / O dla każdego n € N, istnieje granica lim    = g > 1, to lim |a„| = +oo.

n-*oo “ⁿ |    n—oo

PRZYKŁAD 10. Obliczyć granice:

I.) lim

n—oo \ ⁿ /

(■>    \3-2n²

■S*)    •

^d> Ji™

<') lin. ^

3n+5

ROZWIĄZANIE.

a)

. n² + 4n\    /    4\

lim -s— ) lim ( 1 -f - ) = 1.

" *00 \ JV )    M — OO \ n

b) Stosujemy 'I\vierdzenie 2.9 i otrzymujemy

lim (2l+i2)^,J"= Bm (l ₊ i)^1Jn= lim [(l ₊ ljT = e<*. ^ł‘—oo \ W*    ) »-oo V 11J n—oo \ n)

0) I 'o prostych przekształceniach 1 zastosowaniu Twierdzenia 2.9 mamy

2 i \ ³“^2r»^a

n² - 3

Km (=i^)

•• ¹00 \ n¹ )

— lim

n—00 \ n

lim

n—00

1    ^[c

-3\ T

|    -    f,₊4)

n—00 \ n¹)    \ n^Ł)

li) Niech a_n - gjfej-• Wtedy On+i =    •

Idoć, że V,_l( n«„ > 0. Liczymy granice lim

n—00 "ⁿ

lim ¹    = lim

2(n+l)!

3ⁿ • n'

n—00 a,

— lim

n-oo3ⁿ⁺¹ • (n+l)ⁿ⁺¹    2n!

2(n + 1)71!    3^,ł • n"

n—00 3” • 3 • (n 4- l)^ł,(n 4- 1)    2n!

lim

n

lim

n—00 3(n 4- 1)"    n—00

i

lim -

n ¹oo .5

1

l 4- -n

» -1    1

-e —

3    3e

Ponieważ lim < 1, wiec z Twierdzenia 2.10 mamy lim «,, «■ 0.

n—00 ^a"    n—00

i«) Przekształcamy wyrażenie z licznika

7ł!

³¹ 3 J 3!(n — 3)!    2

— = -n(n — l)(n — 2).

Zatem mamy

/n®\³ⁿ⁺⁵_    /    \n¹{n-l)

n"oo i 3(3) J «i!2o Wn(n - l)(n - 2) J

1

•tuz z mianownika