Ebook2

74

noża un a (,nmtni / aągtosc, jutikcji

g) Aby obliczyć granicę, wyłączamy —x przed nawias lim ( \i25x² — 3x + 4 -

T

N / /	1 ^3	4
) = lim —x	\/25 - -	H—2
/ X—♦— oo \ \	V x
= +oo.
_ a^3-6^3a^2+ab+b'^2

lim

x—*0

ś/8 + 3x — \/8 — 2x

8 + 3x — 8 + 2x

2x

= lim

X

°2x ((^8 + 3x)² + ś/8 + 3x • ś/8 - 2x 4- (^8 - 2x)²)

= lim

x—*o

2 ((^8 + 3x)² + ^8 + 3x • ^8 - 2x + (^8-2x)²)

_5_

24'

PRZYKŁAD 6. Obliczyć granice:

a) lim

sin 4x

x-0 2sin6x>

, x ,.    2x—3tg f

' _x_,q ^6sin5x

c) lim ¹ ' _x_o ^s,n41

d) lim

x—»0 v'l+tgi-v/i-tgx‘

ROZWIĄZANIE.

a) Przy obliczaniu granicy korzystamy z równości (3.1)

1

sin 4*    4 "ⁱⁿ⁴¹

lim ——— = hm

4x _

x—o 2 sin 6x x—o 2 • 6 • -

sin 6x

6x

b) Aby obliczyć granicę, stosujemy (3.1) i (3.2)

2x - 3 tg |

lim —°--- = lim

2 - 3 • ł •    2-1

4    _

x—*o 6sin5x x—o 6-5

sin 5x

5x

30

1

24

2 12

c) W tym przykładzie korzystamy z równości (3.1) i wzoru a — b = ^aQ~^

1 — 1 -ł~x

lim -—^X = lim ¹~^f^^{1 1} = lim    .....—.-

x—o sin4x    x—o sin4x x—o (1 + y/\ —    sin 4x

= lim    ^1    1

X

o (l + v/l — x) • 4

sin 4x

4x

8

<D

Hm

Sili x

o >/l + tg a; - y/\ - tg x

lim

x—*o

sin x

l+tgx-l+tgx

^l+tgi+yi-tgi

(>/l + tgx + y/l - tgx) Sili X

lim ----

x—o    2tgx

lim - (yjl + tgx + y/l - tg a:) cos a; = 1. x—»o 2 V    /

1'llZYKŁAD 7. Obliczyć granice:

») lim ( x—*4-00	/ - \ 3x —4 ' 2x+4 A ^ 2x—3 )
1>) lim 1 x—*+oo	( x^3V^2
c) lim (1 + tg3x) ^6x x—*0

UOZWIĄZANIE.

W poniższych przykładach wykorzystamy granicę (3.5). u) Ponieważ lim o = 0, więc mamy

x-»+oo ^{zx ó}

..    , 2x + 4

lim , _

x—* -f-oo \ 2x — 3

3x—4

= lim 1 +

+oo V 2x — 3

lim

x—►4-oo

lim

x—*+oo

1 +

1 +

3x—4

2i —3

7 ^N' ~

7(3x —4)

2x — 3 7

2x — 3

21 — 21ł

21

= e 2

»>)

lim 1--«—-

x—»+oo \    + 7

Hm (*±*

x—*+oo \X^: + 7

lim

x—»+oo

1 +

-4

x² + 7

x-*+7

1 +

lim

x—*+oo

-4

z² + 7

= e

-4