PB032272

yf#* dogu liczbowego_______ 137

ę Zastosowanie poznanych twierdzeń i wzorów do obliczania granic

Warto zapamiętać następujące wzory, które często będziemy stosować przy obliczaniu różnych granic ciągów:

1.    lim - «0» a g R *-*• s

2.    lim c « c, c e R *-»*

d

3.    lim — = 0, p e R., a <= R ++• n^f

4.    lim a « oo

#-MO

5.    Um(-«) - -co

6.    lim (A • n) - -oo, gdy A < 0 »

7. lim (A • u) = oo, gdy A > 0

» MD

8.    lim(-l)" - Granica nie Istnieje.

9.    lim n^p = oo, p a R+

J PRZYKŁAD 2.75

Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

2/1 + 3 3w + 2

ROZWIĄZANIE

Z postaci wyrazu ogólnego widać bezpośrednio, że zarówno licznik jak i mianownik dążą do

nieskończoności, gdy n dąży do nieskończoności. Mówimy, że ułamek ⁿ⁺— jest wyraże-

3/1+2

niem nieoznaczonym typu —, gdy n dąży do nieskończoności. W takich sytuacjach dzielimy oo

licznik i mianownik przez najwyższą potęgę n występującą w mianowniku. Otrzymamy wtedy ciąg, do którego będzie można zastosować poznane twierdzenia dotyczące obliczania granic ciągów.

+-    2+- lim[2+-l lim 2+ lim — ₀    ,

n n «:_ n    nj    _n _2+ O_2

.. 2/1+3 .. lim a. = lim-= lun

»-»*3«+2 »-*® 3/i 2    _ 2    (    2) _v -,    2 3+0 3

—+-    3+—    lim 3+-    lim 3+lun-

n n    n »-»<»^ _n J n-*«    /»-»««

Przy obliczaniu granicy ciągu (a_n) wykorzystaliśmy twierdzenie: „o granicy ilorazu dwóch ciągów zbieżnych”, „o granicy sumy dwóch ciągów zbieżnych” oraz następujące wzory:

1. limc = c

2. lim — = 0 _n

A

1. Symbole: —,    oo -oo, 0*oo, Q°, oo⁰, l⁰⁹ nie mające określonych wartości

oo O

nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi.

2. Przy przekształceniach ciągu na ciągi prostsze musimy uważać na to, czy otrzymane ciągi są zbieżne, bowiem tylko wtedy wolno nam stosować poznane twierdzenia.