PB032273

137

granica ciągu liczbowego

• Zastosowanie poznanych twierdzeń i wzorów do obliczania granic

Warto zapamiętać następujące wzory, które często będziemy stosować przy obliczaniu różnych granic ciągów:

ir-»®

n-*oo

8.    lim(-l)" — Granica nie istnieje.

n-*oo

9.    lim #>^p =oo, p e R+

1.    lim - =0, a e R »-**n

2.    limc = c, c e R

IH«

Q

3.    lim — =0, p g J?+, a e R

IH«

4.    limn=oo

6.    \im(k rt) = -co, gdy Ac<0

łł-*oo

7.    lim (k •/») =oo, gdy k > 0

5. lim(-«)=-«>

5

PRZYKŁAD 2.75

■    •    ai    2n+3

Oblicz gramcę ciągu o wyrazie ogólnym: <2„ = -—-

ROZWIĄZANIE

Z postaci wyrazu ogólnego widać bezpośrednio, że zarówno licznik jak i mianownik dążą do

*    2#t+3

nieskończoności, gdy n dąży do nieskończoności. Mówimy, że ułamek-jest wyraże

niem nieoznaczonym typu —, gdy n dąży do nieskończoności. W takich sytuacjach dzielimy 00

licznik i mianownik przez najwyższą potęgę n występującą w mianowniku. Otrzymamy wtedy ciąg, do którego będzie można zastosować poznane twierdzenia dotyczące obliczania granic ciągów.

—+- 2+J^ah

lim a„ = lim ^±1 = lim ^ = lim ff-KO    M-MO 3/1 + 2 ^ł*-*® Z n-*CO „ Z

2+-

+t*-

/I w

3+—

n

lim¹

n|3+-n

lim 2+ lim — * - -

n-*oo    n—»oo    Z+ U Z

r a.r 2~3+Ó”3 lim 3+ lim —

»-W0 fl

Przy obliczaniu granicy ciągu (a_n) wykorzystaliśmy twierdzenie: „o granicy ilorazu dwóch ciągów zbieżnych”, „o granicy sumy dwóch ciągów zbieżnych” oraz następujące wzory:

a

1. limc~c    2. lim —= 0

00 O

1.    Symbole: —, —, oo - oo, 0*co, 0°, oo®, l* nie mające określonych wartości

oo 0

nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi.

2.    Przy przekształceniach ciągu na ciągi prostsze musimy uważać na to, czy otrzymane ciągi są zbieżne, bowiem tylko wtedy wolno nam stosować poznane twierdzenia.

MW—m1 1: _I_:_____1___i