PB032261

129

Granica ciągu liczbowego

DEFINICJA 2.12

Liczbę O nazywamy granicą ciągu (a„) wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby 0 należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Powyższą definicję granicy ciągu możemy sformułować także następująco:

Liczbę 0 nazywamy granicą ciągu (a„) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego e > 0 istnieje taka liczba M, że dla każdego n > M jest spełniona nierówność: |a„| < e.

Powyższe określenie w zapisie symbolicznym ma postać:

lim a_n

s >0 M n>M

5 PRZYKŁAD 2.71

2

Wykaż, że lim    = 0.

oo

ROZWIĄZANIE

2

Aby wykazać, że liczba 0 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a_n =    należy udowodnić,

n

że w każdym otoczeniu liczby 0 o promieniu e > 0, to jest w przedziale (-s; e), znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu

2

<E <=>-£<—<£

n

2

Rozwiązujemy nierówność -e <— <6 ze względu na niewiadomą n. Ponieważ wszystkie

n²

wyrazy ciągu są dodatnie, wystarczy rozważyć nierówność:

£

n

np. dla e - 4 otoczeniem liczby 0 jest przedział (-4; 4).

- rr*    \

/

Ato

oznacza, że do otoczenia (-4; 4) należą wszystkie wyrazy ciągu