PB032270

135

Granica ciągu liczbowego

DEFINICJA 2.15

Ciąg («*) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności i piszemy lim m_m ** —<o wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu Tąmniejsze od M.

Zamiast „ciąg rozbieżny do +00 ” mówimy także: „ciąg ma granicą niewłaściwą +00**. Podobnie zamiast „ciąg rozbieżny do mówimy: „ciąg ma granicą niewłaściwą -oo”.

Przykład:

Ciąg o wyrazie ogólnym a_n = 5 - 3n, czyli ciąg (2, -1, -4, -7, -10, -13,...), jest rozbieżny do -<*, co zapisujemy lim (5 — 3/i) = —«o.

It—»ao

Prawdziwe jest następujące twierdzenie:

TWIERDZENIE 2.16

• Własności ciągów zbieżnych

Przypominamy, że:

ciąg (a„) nazywamy ograniczonym, jeśli istnieją takie liczby m i M, że dla każdej liczby ne N+ zachodzi nierówność m<, a_n < M.

Liczby m i M nazywamy odpowiednio ograniczeniem dolnym i górnym ciągu (a„).

A

Ciąg jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest on ograniczony zarówno z dołu, jak i z góry.

Przykłady:

1.    Ciąg (a_n) o wyrazie ogólnym «„ =— jest ograniczony; dla każdego neiV₊ spełniony jest

n

warunek: 0<— ^1.

n

2.    Ciąg (a_n) o wyrazie ogólnym a„ = #i² nie jest ograniczony, bo nie jest ograniczony z góry.

3.    Ciąg (a„) o wyrazie ogólnym a_n — (—2)" nie jest ograniczony (nie jest ograniczony z dołu i nie jest ograniczony z góry).