069

Granica ciągu liczbowego

Aby zrozumieć definicją granicy ciągu, zdefiniujemy, co to znaczy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają pewien warunek, mianowicie:

Definicja

Mówimy, że prawie wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu spełniają pewien warunek, wtedy i tylko wtedy, gdy warunku tego nie spełnia co najwyżej skończona liczba wyrazów.

Definicja

Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (aj n e N wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

lim a_n = g <=> A    V    A    [n    >M    => |a_#-g| <s]

/r—>co    £>0    M    >ieN

(lim - /limes/ granica)

Własności ciągów zbieżnych (mających granicę).

Z: Jeżeli lim    a - a,    lim    b = b, k e    R, to

n *    n    ’    ’

u—>•£

T:

a)    lim k ■ a = k ■ lim a = k ■ a

'    >\    n

w—>x    /.’—>•/-

b)    lim (a_o + ó ) = a + b

n->w

c)    lim (a_n - bj - a- b

d)    lim (a_(j • bj -ab

69