PB032269

_ar»ntca ciągu liczbowego _

DEFINICJA 2.15

Ciąg (a„) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności i piszemy lim a_m — •^_c° wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu'Sąmniejsze od M.

Zamiast „ciąg rozbieżny do +oo ” mówimy także: „ciąg ma granicę niewłaściwą +co” Podobnie zamiast „ciąg rozbieżny do -oo” mówimy: „ciąg ma granicę niewłaściwą -oo”.

Przykład:

Ciąg o wyrazie ogólnym a_n - 5 - 3n, czyli ciąg (2, -1,-4, -7, -10, -13,...), jest rozbieżny do -oo, co zapisujemy lim(5 -3/i) = -oo.

Prawdziwe jest następujące twierdzenie:

TWIERDZENIE 2.16

1.    lim|a„|=-K»<=> lim — = 0

»-»«    n-KB a„

2.    Jeżeli a„> 0 dla każdego n e N+ oraz lim a„ =0, to Hm — = +oo.

n-+<o    n—*<jo

3 Jeżeli a_n< 0 dla każdego n e N+ oraz lim =0, to lim —- = -oo.

*-*<*>    *-*« _a

• Własności ciągów zbieżnych

Przypominamy, że:

ciąg (a,) nazywamy ograniczonym, jeśli istniejątakie liczby m i M, że dla każdej Uczby n e /V+ zachodzi nierówność m< a„< M.

Liczby m i M nazywamy odpowiednio ograniczeniem dolnym i górnym ciągu (a„).

135

A

A

Ciąg jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest on ograniczony zarówno z dołu, jak i z góry.

Przykłady:

1.    Ciąg (a„) o wyrazie ogólnym a. =i jest ograniczony; dla każdego n sN+ spełniony jest

n

warunek: 0<—Si. n

2.    Ciąg (a„) o wyrazie ogólnym a. = n² nie jest ograniczony, bo nie jest ograniczony z góry.

3.    Ciąg (a„) o wyrazie ogólnym a„ = (-2)" nie jest ograniczony (nie jest ograniczony z dołu i nie jest ograniczony z góry).