PB032267

PB032267



n

Granica ciągu liczbowego ___________________________________________ 133

Wiemy, że lim — = 0.

*-»<» n

Stąd: lim (a„ -1) = lim — = 0; czyli lim (a„ -1) = 0.

Mówimy, że ciąg o wyrazie ogólnym an ma granicą 1.

DEFINICJA 2.13


Wdę


go


iii.


Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu («„) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (a„ zbieżny do zera, czyli:


g) jest


k %


8 * °9 =?||


?8on.


lima,,

n-*co


= g <=>    -g) =0.


Inaczej mówiąc: liczba g jest granicą ciągu (a„) wtedy, gdy prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do otoczenia liczby g.

Powyższą definicję możemy wyrazić następująco:

Mówimy, że granicą ciągu (a„) jest liczba g wtedy, gdy dla każdego otoczenia liczby g istnieje taka liczba M, że wyrazy ciągu o wskaźnikach n > M należą do otoczenia liczby g, co zapisujemy lim an = g.

i 7f—»oo



Jak wiemy, „każde otoczenie liczby g” znaczy to samo co „otoczenie liczby g o dowolnym promieniu e > 0”.

Zdanie „an należy do otoczenia liczby g o dowolnym promieniu e” zapisujemy :

g-e<an<g + e,czy\i\an-g\<s.

Stąd definicja granicy w zapisie symbolicznym ma postać:

lim an = g <=> /\ V /\ |««-g|<s. W    e>0 M n>M


0 PRZYKŁAD 2.74


liągu) coraz


mniej różnili


Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym an = — — ma granicę 3.

n

ROZWIĄZANIE

Aby wykazać, że liczba 3 jest granicą ciągu an - — —, należy udowodnić, że dla każdego

n

3w + l

e > 0 istnieje taka liczba M, że jeśli tylko n > M> to |a„ - g\ < s, czyli: —--3| < £.

Rozwiązując nierówność 3 <6 o


3n+l

n


3n + l


n


3 <6, otrzymujemy:


1    1

<£<=>-<£«» «>-. n    6


1


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PB032275 % granica ciągu liczbowego 139 $ PRZYKŁAD 2.79 3 n2 — Sn+ 4 n + 6 Oblicz granicę ciągu o wy
PB032261 129 Granica ciągu liczbowego DEFINICJA 2.12 Liczbę O nazywamy granicą ciągu (a„) wtedy i ty
scan0 GRANICA CIĄGU LICZBOWEGO I f r i    JI IDEFINICJA Mówimy, że liczba g jest
Granica ciągu liczbowego Aby zrozumieć definicją granicy ciągu, zdefiniujemy, co to znaczy, że prawi
Granica ciągu liczbowego c) lim — L = —    b,*0 dla wszystkich n e N,
Granica ciągu liczbowego 9. lim rf = cc,    gdy p > 0 n—yyjUWAGA! SYMBOLE NIEOZNA
Granica ciągu liczbowego I t -1 = lim ii    O    O t
Granica ciągu liczbowego pod uwagę pierwiastek I 16/r + 1 oc” lim —;—-— = — = lim łt->x j fl
Granica ciągu liczbowego Rozwiązanie: lim (3ir + 10 - 3n1 + 1 ) = „oo - oc” =I    I
PB032261 129 Granica ciągu liczbowego DEFINICJA 2.12 Liczbę O nazywamy granicą ciągu (a„) wtedy i ty

więcej podobnych podstron