n
Granica ciągu liczbowego ___________________________________________ 133
Wiemy, że lim — = 0.
*-»<» n
Stąd: lim (a„ -1) = lim — = 0; czyli lim (a„ -1) = 0.
Mówimy, że ciąg o wyrazie ogólnym an — ma granicą 1.
DEFINICJA 2.13
go
Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu («„) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (a„ zbieżny do zera, czyli:
g) jest
k %
8 * °9 =?||
?8on.
lima,,
n-*co
= g <=> -g) =0.
Inaczej mówiąc: liczba g jest granicą ciągu (a„) wtedy, gdy prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do otoczenia liczby g.
Powyższą definicję możemy wyrazić następująco:
Mówimy, że granicą ciągu (a„) jest liczba g wtedy, gdy dla każdego otoczenia liczby g istnieje taka liczba M, że wyrazy ciągu o wskaźnikach n > M należą do otoczenia liczby g, co zapisujemy lim an = g.
i 7f—»oo
Jak wiemy, „każde otoczenie liczby g” znaczy to samo co „otoczenie liczby g o dowolnym promieniu e > 0”.
Zdanie „an należy do otoczenia liczby g o dowolnym promieniu e” zapisujemy :
g-e<an<g + e,czy\i\an-g\<s.
Stąd definicja granicy w zapisie symbolicznym ma postać:
lim an = g <=> /\ V /\ |««-g|<s. W e>0 M n>M
liągu) coraz
mniej różnili
Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym an = — — ma granicę 3.
n
Aby wykazać, że liczba 3 jest granicą ciągu an - — —, należy udowodnić, że dla każdego
n
3w + l
e > 0 istnieje taka liczba M, że jeśli tylko n > M> to |a„ - g\ < s, czyli: —--3| < £.
Rozwiązując nierówność 3 <6 o
3n+l
n
3n + l
n
3 <6, otrzymujemy:
1 1
<£<=>-<£«» «>-. n 6
1