Ebook8

GO Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji

Definicja 3.2. (Heine) Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x<), jeżeli dla każdego ciągu (x„) o wyrazach x„ G S, zbieżnego do x’o, ciąg (/(a:,,)) wartości funkcji jest zbieżny do g.

W tej definicji zamiast słowa „liczba" można wstawić „element g G R" i wtedy otrzymujemy zarówno definicję granicy właściwej funkcji f w punkcie (g G R), jak i definicję granicy niewłaściwej funkcji / w punkcie xo {g = — oo lub g — -foo).

Definicja 3.3. (Cauchy) Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie jeżeli dla każdego £ > 0 istnieje takie 6 > 0. że dla każdego x spełniającego nierówność 0 < |x — x<j| < ó jest spełniona nierówność | f(x) — g\ < e, czyli lim f{x) = g <=> V_c>„ 3_S>0 V_l€$ (0 < \x - x₀| < fi => \f{x) - g\ < e).

X—Xo

Definicje 3.2 i 3.3 są równoważne.

PRZYKŁAD 1. Wykazać na podstawie definicji a) Heinego, l>) Cauchy ^łego,

że

lim

x—2

2x² — 5x + 2

x — 2

= 3.

ROZWIĄZANIE.

Dziedziną funkcji f(x) = ²jest zbiór D = R\{2), zatem 2 jest punktem skupienia zbioru D.

a) Pokażemy, że dla każdego ciągu (x„), gdzie lim x„ = 2 i x_n ^ 2 dla

n-*oo

każdego n G N, odpowiedni ciąg wartości funkcji (/(x„)) jest zbieżny do 3. Niech (x„) będzie dowolnym ciągiem spełniającym powyższe założenia. Tworzymy ciąg (/(x„)) o wyrazie ogólnym

IM =

2x² — 5x_w + 2 x_n — 2

(2x„ - l)(x_w - 2) x_u - 2

— 2x„    1.

Zatem

lim /(x„) = lim (2x_fl - 1) = 2 • 2 - 1 = 3.

n—»oo    n—oo

li) Pokażemy, że dla każdego £ > 0 istnieje takie fi > 0, że dla każdego x / sąsiedztwa punktu xq — 2 i spełniającego nierówność 0 < |® — 2| < <5 jest npelniona nierówność |/(.t) - 3| < c.

Zauważmy, że

I/(*) ~ 3|

2x¹ - 5* + 2 x-2

- 3

{2x - 1 )(x — 2) x - 2

-3

|2a? - 1 - 3| = |2(ar - 2)| = 2 |ar - 2| < 2(5.

Przyjmując fi — %< otrzymujemy, że dla każdego x z sąsie< i un) tu (To 2 i spełniającego warunek 0 < \x - 2| < d> jest spełniona nierówno-..

| f(x) - 3| < £. Zatem

lim

x—2

2x¹ - 5z + 2 x - 2

3.

Uwaga 3.1. Niech funkcja / będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S punktu ;ro.

Jeżeli istnieją ciągi (^x₇^, spełniające warunki:

1)    lim x_n = xo, przy czym x_u ^ Xo dla każdego n € N,

n—oo

2)    lim x_7l = xo, przy czym x”_t / a?o dla każdego u (E N,

n—*cxj

3)    lim / (®ń) / lim / (z",),

n-»oo \ /    n—*oo \ /

lo granica lim f[x) (właściwa ani niewłaściwa) nie istnieje.

J —x₀

PRZYKŁAD 2. Wykazać, że funkcja f(x) ¹—r nic ma granicy w punkcie

3+e*

*0 = b.

ROZWIĄZANIE.

Zgodnie z Uwagą 3.1 wystarczy wskazać dwa ciągi faą,) ' (^;Cł') ^zbi^e*^ne do

0    i mające wyrazy różne od 0 dla każdego u € N takie, że odpowiadające im ciągi wartości (/ (^n)) > (/ (^ń)) me są zbieżne do tej samej granicy, Niech x_n = J oraz x"_x = — J dla u € N. Dla każdego n € N mamy a:,, / 0

1    x" / 0. Ponadto lim x_n = 0 oraz lim x' = 0. Wtedy

n—♦ OO    ti — nn

lim

n—oo

/ (*'„) = 0,

1

-2 lim -r — lim -—

n~*oo ą. _tA/^xn n-*oo 3 -f c”