Ebook7

84 Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji

oraz

f(~)=asin(-^)+b=-a + b.

Aby funkcja / była ciągła w punkcie xq = — f, musi być spełniony warunek

—a -(-6 = 2.

Dla \ marny

TT

lim f{x)= lim (asinrr + b) = a sin — + b = a + 6,

x ► —^—    2

' 2 2

7T

lim f{x) = lim cosx = cos — = 0

. . ZL +    ZL +    2

2 ^x 2

oraz

Aby funkcja / była ciągła w punkcie xq = f, musi być spełniony warunek

a + b = 0.

Po rozwiązaniu układu równań —a + 6 = 2ia + 6 = 0 otrzymujemy, że funkcja / jest ciągła na zbiorze liczb rzeczywistych dla a = — 1 i b = 1.

b) Rozważamy funkcję

r( \ l |arctgx| dla |x| < 1 | x(ax + b) dla |x| ^ 1.

Na podstawie Twierdzeń 3.6 oraz 3.7 otrzymujemy, że funkcja / jest ciągła na przedziałach (—oo, — !),( — !, 1), (l,+oo). Zauważmy, że

arctg x    dla arctg x ^0 A -1 <x< 1

/(*)

—arctga:    dla arctg a: <0 A -1<x<1

x (ax + b) dla x — 1 V x) 1, ¹ < 'lągłość funkcji w punktach xq = — 1 i xq = 1 badamy, wykorzystując Twierdzenie 3.5.

Dla Xq = — 1 mamy

x—* — 1“

♦ — 1    i—► —1~

lim f(x)= lim (—arctg x) = —arctg (—1) =—

lim f(x) — lim x(ax + b) = — (—a + b) = a — 6,

/(“ 1) = a-b.

\by funkcja / była ciągła w punkcie xq = — 1, musi być spełniony warunek

Dla xq = 1 mamy

lim f{x) = lim arctg x = arctg 1 = —,

lim f(x) = lim x(ax -f b) = a -f b

uraz

/(1) = a + b.

Aby funkcja / była ciągła w punkcie xq = 1, musi być spełniony warunek

4'

Po rozwiązaniu układu równań a — 6=|ia + ó= | otrzymujemy, że funkcja / jest ciągła na zbiorze liczb rzeczywistych dla a = ^ i b = 0.

PRZYKŁAD 14. Udowodnić, że równanie 4^X = x² ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale ( — 1,0).

ROZWIĄZANIE.

Niech f(x) = 4^X — x². Funkcja / jest ciągła na przedziale [—1,0].

Ponadto /(-1) = —| < 0 oraz /(O) = 1 > 0, czyli jest spełniony warunek /(— 1) ■ /(0) < 0. Zatem z twierdzenia Darboux wynika, że istnieje liczba c € (-1,0) taka, że f(c) = 0, a to oznacza, że równanie 4¹ = x² ma pierwiastek

czyli

1

arctg x dla x G [0,1)

—arctgrr dla x6 (-1,0)

x(ax T b) dla x 6 (—oo, — 1] U [1, +oo).