Ebook0

90 Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji

a)    3¹ 4- 5¹ = 9,    (1,2),

b)    x² 4-lnx = 0,    (^,1),

c)    arctgx =

3.4 Odpowiedzi do zadań

lim

x—►+oo

lim

x—>+oo

lim

x—•+oo

a)    lim    a(x)    —    — 4,

b)    lim    6(x)    =    4-oo,

X —*— oo

c)    lim c(x) = 4,

X—♦ —oo

d)    lim    d(x)    =    —

x—♦ — oo    ^z

e)    lim    e(x)    =    4-oo,

X—*— oo

^f)    = 7P7S>

g)

lim a(x) =

x—»+oo    ^z

lim b(x) = 4-oo,

x—»-f oo

lim c(x) = 4-oo,

x—*+oo

lim d(x) = 4,

x—*+oo    ^z

e(x) = 4-00,

fW⁼

^ = S72'

Zad.3.	^a). ^b)>	d), f). g)	, h) - granica nie istnieje, c) 0, e) -			-oo.
Zad.4.	a) J>	^b) 5-	c) -15,	d)-	•2. e) -i, f)	g) 10^3,
^h) i	i)§.	j) 40’	k) 24 ’	1) 5-	m) n) +oo,	O O
^r) 73’	s) X,	t) o,	u) 0,	V) e^6,	w) e^3.

Zad.5.

Zad.6.

a)    funkcja / jest ciągła na zbiorze liczb rzeczywistych,

b)    funkcja / ma w punkcie xo = —2 nieciągłość pierwszego rodzaju typu „skok”,

c)    funkcja / jest ciągła na zbiorze liczb rzeczywistych,

d)    funkcja / ma w punkcie xq = O nieciągłość pierwszego rodzaju typu

„skok”.

Zad.7. a) a = 9, b) a = 3 lub a = —3, c) a =    ¹².

Iłozdział 4

Iłachunek różniczkowy i jego zastosowania

W tym rozdziale przedstawimy metody obliczania pochodnych oraz różne i (losowania pochodnej w tym m.in. do badania monotoniczności funkcji, Wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji, do znajdywania przedziałów wy-piikłości, wklęsłości oraz punktów przegięcia wykresu funkcji.

1 I Obliczanie pochodnych funkcji

I )nfinicja 4.1. Załóżmy, że x$ G K, funkcja / jest określona w otoczeniu (•unktu xo oraz niech xo + h należy do tego otoczenia. Jeżeli istnieje granica właściwa lim f(^xo+hy~f(^x°) _t to granicę tę nazywamy pochodną funkcji J

w punkcie xq i oznaczamy f'(xo).

1'nchodną funkcji / w punkcie xq możemy również określić w następujący MpoHÓb:

= lim

X—*XQ

f(x) - f{xq)

X — Xq

(4.1)

Jeżeli funkcja / ma pochodną w punkcie xo, to mówimy, że funkcja / )iM( różnićzkowalna w punkcie xq. ¹

1

lednicja 4.2. Załóżmy, że xq G R oraz funkcja / jest określona przynajmniej na lewostronnym otoczeniu punktu xq. Pochodną lewostronną funkcji