Ebook6

82 Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji

82 Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji

f(x)

x — 3 dla x G (—oo, —2) U [3, +oo) < — (x — 3) dla (-2,3)

5    dla x = —2.

Ciągłość funkcji w punkcie xo = —2 badamy, wykorzystując Twierdzenie 3.5. Ponieważ

lim f(x) = lim (x—3) = —5 oraz lim /(x) — lim (—x-f-3) = 5,

x—*—2~    x—*—2~    x—♦—2+    x——2⁺

więc lim f(x) nie istnieje. Zatem z Definicji 3.7 otrzymujemy, że funkcja

x—*—2

/ ma w punkcie xo = —2 nieciągłość pierwszego rodzaju typu „skok”, c) Badamy ciągłość funkcji

2	dla	x ^ —2
ar-2	dla	x G (-2,-1]
logi(x + 2) - 1	dla	x G (-1,1]
3 x—1	dla	X > 1.

Na podstawie Twierdzeń 3.6 oraz 3.7 otrzymujemy, że funkcja / jest ciągła na przedziałach (—oo, —2), (-2,-1), ( — 1,1), (1,-foo). Ciągłość funkcji w punktach xo = —2, xq = —1 i xo = 1 badamy przy pomocy Twierdzenia 3.5.

Ponieważ lim f(x) = 2 oraz

x—»—2~

Jm₊/⁽x) = Jm₊((i) -2) = (1)    -2 = 2,

więc lim f(x) = 2.

x—>—2

Ponadto /(—2) = 2, czyli lim f(x) = /(—2). Zatem funkcja / jest ciągła

x—*—2

w punkcie xo = —2.

Ponieważ

_iHm_/(x)=Jm_((i) -2) = (1)    -2 = 0

oraz

lim /(x) = lim (logi (x + 2) — l) = logi 1 — 1 = —1,

X—» —1+    x—* — 1+ \    3    /    3

więc lim f(x) nie istnieje. Z Definicji 3.7 mamy, że funkcja / ma w punkcie

i—*—i

./:() = — 1 nieciągłość pierwszego rodzaju typu „skok”.

Ponieważ

lim f(x) — lim (logi(a: + 2) - 1^ = logi 3 — 1 =-2

x—► 1^—    x—► 1^— V 3    /    3

oraz

= —oo,

lim f(x) = lim — i—i+    i—i+ V x - 1

więc lim f(x) nie istnieje. Zatem z Definicji 3.8 otrzymujemy, że funkcja /

i—i

ma w punkcie xo = 1 nieciągłość drugiego rodzaju.

IMIZYKŁAD 13. Dobrać tak parametry a i b, aby podana funkcja / była ciągła na zbiorze liczb rzeczywistych, jeżeli -2sina; dla x < — | a) f(x) = ^ a sin x + b dla — $ ^ x < 5

cos a;

dla x ^

b) f{x) =

|arctgx|    dla |x| < 1

a;(aa; -t- b) dla |x| ^ 1.

ROZWIĄZANIE, a) Rozważamy funkcję

/(z) =

—2sinx

dla x < — |

a sin a;+ 6 dla — | ^ x < |

cos a;

Na podstawie Twierdzeń 3.6 oraz 3.7 otrzymujemy, że funkcja / jest ciągła na przedziałach (—oo, — |), (—§,f) (|,+oo). Ciągłość funkcji w punktach a:o = — f i xq = | badamy, wykorzystując Twierdzenie 3.5.

Dla xq = —^ mamy

lim f(x) = lim (—2sina;) = -2sin (—^ ) = 2, _r—_ i -    x->-- ~    V 2/

^x 2 2

lim f(x)= lim (a sin a; + 6) = a sin (—— ) + 6 = — a + b X—    X— ? +    V 2/