Ebook
4

IG Rozdział 2. Przegląd funkcji elementarnych

Nierówność ^ 0 jest równoważna alternatywie

7

(4x + 7)(x — 1) < 0 V x =

Stąd otrzymujemy x € [—|,l). Nierówność ^ 0 jest równoważna alternatywie

Stąd mamy x € (—oo, — jj]u(l, -ł-oc). Ostatecznie rozwiązaniem nierówności (1.2) jest

Stąd otrzymujemy x G [- J, — g].

1.3 Funkcje potęgowe

Definicja 1.8. Funkcją potęgową nazywamy funkcję

f(x) = x^r, gdzie r € R.

Dziedzina funkcji potęgowej zależy od r, na przykład:

1.    r = 0. Wtedy £>/=R\{0}.

2.    r € N. Wtedy funkcja f{x) = x^r jest wielomianem i mamy Dj = R.

3.    r € Z , gdzie Z oznacza zbiór liczb całkowitych ujemnych.

Wtedy dziedziną jest zbiór R \ {()}.

4.    r € Q \ {0}, gdzie Q oznacza zbiór liczb wymiernych.

Jeżeli r > 0, to dziedziną funkcji f(x) = x^r jest zbiór (0,-ł-oo) (np. dla r = 5) lub R (np. dla r J).

Jeżeli r < 0, to dziedziną tej funkcji jest zbiór (0, -ł-oc) (np. dla r - —5) lub R \ {()} (np. dla r - — J).

Dla r = mamy funkcję potęgową f(x) xi >/r> nazywaną funkcją pierwiastkową. W poniższych przykładach przypomnimy metody rozwiązywania równań i nierówności pierwiastkowych, tzn. takich, w których niewiadoma znajduje się pod znakiem pierwiastka.

PRZYKŁAD 11. Rozwiązać równanie

v/i + Hv/i = 3.    (1.3)

ROZWIĄZANIE.

Irżeli liczba x jest pierwiastkiem równania (1.3), to jest także pierwiastkiem równania

(^ + 3 + \/x)² = 9.

Stąd po pi'/(‘kształceniach otrzymujemy

\/x² + 3x = 3 — *.    (1.4)

leżeli liczba x jest pierwiastkiem równania (11), to jest także pierwiastkiem równania x² + 3x = (3 — a:)², czyli równania 9x = 9. Pierwiastkiem tego równania jest x 1. Aby się przekonać, czy x 1 jest pierwiastkiem równania (1.3), należy wykonać sprawdzenie. Wstawiając x 1 do równania (I 3), stwierdzamy, że liczba x — 1 spełnia to równanie.

PRZYKŁAD 12. Rozwiązać nierówność

v/x - 2 > 4 - x.    (1.5)

ROZWIĄZANIE.

Dziedziną nierówności (1.5) jest zbiór P |2,+oo). Rozważmy dwa przypadki

1 I x ^ 0, czyli x £ (-oo,4).

Ponieważ x € P i x £ (—00,4), więc x € |2,4j.

W tym przypadku obydwie strony nierówności (1.5) są nieujetnne, więc ta nierówność jest równoważna nierówności

x - 2 > (4 - x)².

Stąd

x² - 9x +18 < 0.

Po rozwiązaniu tej nierówności otrzymujemy x £ (3,6). Zatem x £ (3,6) fi |2,4), czyli x £ (3,4).