Ebook

12 Rozdział 1. Przegląd funkcji elementarnych

ROZWIĄZANIE.

Wielomian W(x) można rozłożyć na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia

W(x) = x⁴ 4- 3x² -f 4 = (x² + 2)² — x² — (x² — x + 2)(x² + x + 2).

Ponieważ V_x6r x² — x + 2 > 0 oraz V_iGr x² + x -f 2 > 0, więc wielomian \V(x) nie posiada pierwiastków rzeczywistych.

PRZYKŁAD G. Rozwiązać równania:

a)    x³ — 2x² — 9x + 18 = 0,

b)    x³ — 2x² — 5x + 6 = 0,

c)    x⁴ — 2x² — 15 = 0.

ROZWIĄZANIE.

a)    Niech \V(x) = x³ — 2x² — 9x + 18 = 0. Rozkładamy wielomian W(x) na czynniki, stosując metodę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias. Otrzymujemy

x³ — 2x² — 9x + 18 = x²(x — 2) — 9(x — 2) = (x² — 9)(x — 2) =

= (x + 3)(x — 3)(x — 2).

Zatem rozwiązaniem równania x³ — 2x² — 9x + 18 = 0 jest x = —3 lub x = 3 lub x = 2.

b)    Mamy

x³ — 2x² — 5x + 6 = x³ — x² — x² -f x — 6x + 6 =

= x²(x — 1) — x(x — 1) — 6(x — 1) =

= (x — l)(z² — x — 6) = (x — l)(x + 2)(x — 3).

Zatem rozwiązaniem równania x³ — 2x² — 5x + 6 = 0 jest x = 1 lub x = —2 lub x = 3.

c)    Równanie x⁴ — 2x² — 15 = 0 jest równaniem dwukwadratowym. Zastosujemy podstawienie x² = t. Otrzymujemy wtedy równanie kwadratowe t² — 2t — 15 = 0, którego rozwiązaniem jest t = —3 lub t = 5. Zatem mamy

i ' -    3 lub x² =5. Równanie x² = —3 nie posiada rozwiązania w zbiorze

Ił Rozwiązaniem równania x² = 5 jest x = — y/b lub x = y/b.

Zatem rozwiązaniem równania x* — 2x² — 15 = 0 jest x = — y/b lub

. * y/b.

1'HZYKŁAD 7. Rozwiązać nierówność 18x³ — 27rr² + 13x — 2 < 0. no/, WIĄZANIE.

Niech W(x) = 18x³ —27x² + 13x —2. Rozkładamy wielomian iy(;r) im r/yn mlii Na podstawie twierdzenia Kartezjusza szukamy pierwiastków wielo III lal iii wsi ód liczb 111 $    2,2,    2’2’    3 > 3 > q > 6’    9’9’ T5^ł 1^5 * jj * j *

* l, j(. Można sprawdzić, że wielomian ten nie posiada pierwiastków ( alko wllycli. Ponieważ W(^) = 0, więc liczba ^ jest pierwiastkiem wielomianu ll’( /). Dzielimy wielomian W{x) przez dwumian x — stosując schemat Homera.

	18	-27	13	-2
1 3	18	-21	6	0

Na podstawie tabelki otrzymujemy

W(x) =    (18x² — 21a: + 6) = 3    ^ (6x² — 7x + 2).

Rozwiązujemy równanie 6x² — 7x + 2 = 0. Stąd mamy x = \ lub x = Zatem

2'

^{X _} 3

Aby rozwiązać nierówność \V(x) < 0, rysujemy przybliżony wykres wielomianu lF(:r).