Ebook
5

18 Rozdział 1. Przegląd funkcji elementarnych

2. Ą - x < 0. Po uwzględnieniu dziedziny mamy x £ (4,-ł-oo).

Jeżeli przez P (L) oznaczymy odpowiednio prawą (lewą) stronę nierówności (1.5), to w tym przypadku mamy P < 0 i L > 0 dla .t £ (4,-ł-oo). Oznacza to, że nierówność jest prawdziwa dla każdego x £ (4,-foo).

Zatem na podstawie przypadków 1,2 otrzymujemy, że rozwiązaniem nierówności (1.5) jest zbiór (3,4] U (4,-ł-oo), czyli (3,+Oo).

1.4 Funkcje logarytmiczne i wykładnicze

Przypomnijmy na początek definicję logarytmu.

I )efinicja 1.9. Niech a będzie liczbą dodatnią różną od 1, natomiast h niech będzie liczbą dodatnią. Logarytmcm liczby b przy podstawie a nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść a, żeby otrzymać liczbę b.

Logarytm liczby h przy podstawie a oznacza się symbolem log_u b Zatem z Definicji I 9 mamy

log_n b t=s c <==> a^c = b, gdzie a > 0 A « / I A b > 0.

Na przykład

log₂ 8 = 3, ponieważ 2³ = 8,

bogarytm, którego podstawą jest liczba 10 nazywamy logarytmcm dziesiętnym. Logarytm dziesiętny liczby x oznacza się symbolem logx. Duże zastosowanie w matematyce ma liczba e (liczba Eulera). Jest. to liczba

niewymierna i jej rozwinięcie dziesiętne ma postać c = 2,718281828____

Logarytm, którego podstawą jest liczba e nazywamy logarytmcm naturalnym. Logarytm naturalny liczby x oznacza się symbolem lnx.

Podamy teraz definicje i podstawowe własności funkcji logarytmicznej i wykładniczej.

l Inflnlcja 1.10. Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję określony w zbio-i/n liczb rzeczywistycli dodatnich wzorem

f{x) = log_u z, gdzie a € (0,1) U (1, +oo).

Podamy teraz podstawowe własności funkcji logarytmicznej.

Załóżmy, że z, y > 0, a, ó > 0, « / 1, b / 1 i A: € K. Wtedy

logo	^x + loga y =	log,,		(1.0)
log,,	^X “ loga V =	log,,	X	(1.7)
			^1 V
k logH x = loga x^k		»		(1.8)
log a	II 1 £ S H			(1.9)
a'°*»	^1 = X,			(1.10)
loga	("‘H’			(1.11)
log «	a = 1,			(1.12)
log,,	1 = 0.			(1.13)

W KÓr (I 0) jest nazywany wzorem na zamianę podstawy logarytmu.

In linie ją I. I I. Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną w zbiorze ll' \> rzeczywistych wzorem

/(z) = a^x, gdzie a € (0,1) U (1, +oo).

I iczba c jest podstawą funkcji wykładniczej c^x, którą nazywa się też lunkr/ą eksponenejalną i oznacza symbolem cxpz (eksponen.s z).

I wlerdzeuie 1.4. Funkcje wykładnicza i logarytmiczna o tej samej podstawie są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.

I wlerdzeuie 1.5. Jeżeli a € (0. 1), to funkcje wykładnicza i logarytmiczna tą malejące, a. gdy a 6 (I, +00), to .są rosnące.