Ebook5

120 Rozdział 4. Rachunek róśnii kowy i jego zastosoirmu

Dziedziną tej funkcji jest zbiór Dp = (3, +oo). Mamy

....    1 b² - 66

⁼ 2 (6 — 3)²'

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji P{b)

P'(b) = 0 b² — 6b = 0 <=> 6 = 0 V ó = 6.

Ponieważ b £ (3, +oo), więc b = 6. Łatwo sprawdzić, że funkcja P(b) rońnli w przedziale (6, -hoo), natomiast maleje w przedziale (3,6). W punkcie /»

6 funkcja ta osiąga minimum lokalne będące jednocześnie jej najmnicjn/ii wartością na przedziale (3,+oo). Obliczamy a na podstawie wzoru (4 mamy a = 2. Ponadto m = — £ = —3, n = b = 6.

Zatem równanie prostej l ma postać y = 3x + 6.

4.8 Przebieg zmienności funkcji

Badaniem przebiegu zmienności funkcji nazywa się zbieranie wszelkich iii formacji o tej funkcji, które umożliwiają m.in. naszkicowanie jej wykrenu Przy badaniu przebiegu zmienności danej funkcji będziemy wykorzystywał następujący schemat:

1.    Wyznaczenie dziedziny funkcji.

2.    Badanie podstawowych własności funkcji takich jak: parzystość, niepu rzystość, okresowość.

3.    Wyznaczenie punktów wspólnych wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.

4.    Wyznaczenie granic na krańcach określoności dziedziny i zbadanie iwl nienia asymptot.

5. Badanie pierwszej pochodnej funkcji.

5.1. Wyznaczenie pierwszej pochodnej i jej dziedziny.

4,8. Przebieg zmienności funkcji

121

5.2.    Wyznaczenie punktów krytycznych.

5.3.    Wyznaczenie przedziałów monotoniczności.

5.4.    Wyznaczenie ekstremów lokalnych (o ile istnieją).

(i. Badanie drugiej pochodnej funkcji.

6.1.    Wyznaczenie drugiej pochodnej i jej dziedziny.

6.2.    Wyznaczenie miejsc, w których mogą być punkty przegięcia.

6.3.    Wyznaczenie przedziałów wypukłości oraz wklęsłości wykresu funkcji.

6.4.    Wyznaczenie punktów przegięcia wykresu funkcji (o ile istnieją).

7.    Sporządzenie tabeli.

8.    Sporządzenie wykresu funkcji.

HłZYKŁAD 23. Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x) — (x 4- 2)ex.

U OZ WIĄZ ANIE.

I Wyznaczamy dziedzinę funkcji. Mamy Dj = (—oo,0) U (0, +oo).

■ Badamy podstawowe własności funkcji. Sprawdzamy, czy funkcja jest parzysta, czy nieparzysta. Dla każdego x 6 Dj mamy —x 6 Df. Ponadto /( x) = (—x + 2)e"x ^ f(x) oraz f(—x) ^ —f(x). Zatem funkcja / nie Jest ani parzysta ani nieparzysta.

I hokeja nie jest okresowa.

I W celu znalezienia miejsc zerowych funkcji rozwiązujemy równanie (;r + 2)e* =0. Ponieważ

V_i€D/ e* > 0,    (4.3)

więc (x + 2)e* = 0 <=> x = —2.

Wykres funkcji nie posiada punktu wspólnego z osią Oy, gdyż 0 & Df.

4. Znajdujemy granice funkcji na krańcach określoności dziedziny. Mamy

lim (x -f 2)e* = —oc,    lim (x -f 2)e* = 0,

x-*-oo    i—>0-

lim (x + 2)e* = +oc, lim (x + 2)e* — +oo.

x—+oo^v    i—0+