Ebook6

122 Rozdział A. Rachunek różu/< howy i /ego zastosowania

Zatem prosta x — 0 jest asymptotą pionową prawostronną. Funkcja nie posiada asymptoty poziomej.

Sprawdzamy, czy istnieje asymptota ukośna w +oo. Mamy a = b =

lim

x—»+oo

(a; -4- 2)e =

= lim ( 1 H— ) e* = 1,

x—*-f oo

1    . loo-oo

lim ((a: -F 2)e* — x)    ii_m (_Xex ą. 2e* — x) =

x—*+oo    x—*-foo

_ i    . i . [Ooo]    e* — 1 [§]

lim 2e* + lim x(e* — 1) = 2 + lim —;— =

X—* + 00    X—» + OC    X—* +00    i

X

e* (—4j)

2 + lim - --= 3.

x-.+oo (_i)

Zatem prosta y = x + 3 jest asymptotą ukośną funkcji / w +oo.

Ponieważ lim {^x+²)^ex ₌ \ oraz li_m ((x + 2)e* — x) = 3, więc prostu y = x + 3 jest asymptotą ukośną funkcji / w — oo. Zatem ta prosta jest asymptotą ukośną funkcji / w —oo i w +oo.

5. Badamy pierwszą pochodną funkcji.

5.1.    Wyznaczamy pierwszą pochodną funkcji /. Mamy

f'(x) = e* + (x + 2)e*    = e* ^1 -    , D_f> = £>/.

5.2.    Wyznaczamy punkty krytyczne

f(_x) = 0 ex ^1 -    = 0.

Na podstawie nierówności (4.3) mamy

f'(x) = 0 <=> -^-= 0 4=i> x = —1 V x = 2.

x^z

5.3.    Badamy znak pierwszej pochodnej

f\x) > 0 e* ^1 - ^4^

Korzystając z (4.3) i z tego, że x² > 0 dla x € Dj>, otrzymujemy

/'(x) > 0 <=> x² — x - 2 > 0 <=> x 6 (—oo, —1) U (2, +oo), f'(x) < 0 <=> x E (—1, 0) U (0, 2).

Zatem funkcja jest rosnąca na przedziałach (—oo, —1), (2,+oo), natomiast malejąca na przedziałach ( —1,0), (0, 2).

r>.4. Na podstawie powyższych obliczeń otrzymujemy, że funkcja osiąga maksimum lokalne w punkcie x = — 1, natomiast minimum lokalne w punkcie x = 2. Mamy f_max = /(—1) = e^_1, f_min = /(2) = 4ea.

(i. Badamy drugą pochodną funkcji.

6.1. Wyznaczamy drugą pochodną funkcji /. Marny

Ax) =

i 5x + 2

+ e

i f l \ x² - x - 2 i (2x — \)x² — 2x(x² — x - 2)

>    = Dj.

(i.2. Wyznaczamy miejsca zerowe drugiej pochodnej i uzyskujemy

f"(x) = 0 <==> bx -f 2 = 0 -r==> x — — —.

5

6.3. Badamy znak drugiej pochodnej. Na podstawie (4.3) mamy

x e ( +oo ) .

i 5x + 2 e^x-— *

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy

/"(*) > 0

x € ( — —, 0 ) U (0, -foo).

‘onadto

f"(x) < 0 5x + 2 < 0 <==> x G oo, — - j.

Zatem funkcja / jest wypukła na przedziałach (—|,0) , (0,+oo), natomiast wklęsła na przedziale (—oo, —

6.4. Z powyższych obliczeń wynika, że punkt P = ( — i, |e~2) jest punktem przegięcia wykresu funkcji.

7 Wyniki uzyskane w punktach 1-6 zestawiamy w następującej tabeli:

X	( oo, -1)	-1	(-b-Ś)	-5— 5	("I-O)	0	(0,2)	2	(2, +oo)
Az)	-	-		0	+	X	+	+	+
/'(z)	+	0	-	-	-	X	-	0	+
/(z)	/ wkl.	e^-1 max	\ wkl.	yr PP	\ wyp.	X	\ wyp.	4e$ min	/ wyp.